Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66682 / 64362
↖ ↑ ↗
← N  3.222787°
E  3.147583°		 ← 304.88 m → N  3.222787°
E  3.150329°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.220045°
E  3.147583°		 ← 304.88 m →
92 963 m²		 N  3.220045°
E  3.150329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508747100830078 y=0.491046905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508747100830078 × 217)
    floor (0.508747100830078 × 131072)
    floor (66682.5)     		tx = 66682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491046905517578 × 217)
    floor (0.491046905517578 × 131072)
    floor (64362.5)     		ty = 64362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66682 / 64362 ti = "17/66682/64362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66682/64362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66682 ÷ 217
    66682 ÷ 131072     		x = 0.508743286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64362 ÷ 217
    64362 ÷ 131072     		y = 0.491043090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508743286132812 × 2 - 1) × π
    0.017486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05493569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491043090820312 × 2 - 1) × π
    0.017913818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0562779201539459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05493569} λ = 0.05493569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0562779201539459))-π/2
    2×atan(1.05789165229569)-π/2
    2×0.813522281585529-π/2
    1.62704456317106-1.57079632675     		φ = 0.05624824
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05493569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.147583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05624824 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.222787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66682 KachelY 64362 0.05493569 0.05624824 3.147583 3.222787
    Oben rechts KachelX + 1 66683 KachelY 64362 0.05498362 0.05624824 3.150329 3.222787
    Unten links KachelX 66682 KachelY + 1 64363 0.05493569 0.05620038 3.147583 3.220045
    Unten rechts KachelX + 1 66683 KachelY + 1 64363 0.05498362 0.05620038 3.150329 3.220045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05624824-0.05620038) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05624824-0.05620038) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05493569-0.05498362) × cos(0.05624824) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998418484789408 × 6371000     		do = 304.879095304784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05493569-0.05498362) × cos(0.05620038) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998421174267378 × 6371000     		du = 304.879916569236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05624824)-sin(0.05620038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998418484789408-0.998421174267378)×R²
    abs(0.05498362-0.05493569)×2.68947796933094e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.68947796933094e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.68947796933094e-06×40589641000000     		ar = 92962.6577428038m²