Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66679 / 64359
↖ ↑ ↗
← N  3.231013°
E  3.139343°		 ← 304.88 m → N  3.231013°
E  3.142090°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.228271°
E  3.139343°		 ← 304.88 m →
92 962 m²		 N  3.228271°
E  3.142090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64359 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508724212646484 y=0.491024017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508724212646484 × 217)
    floor (0.508724212646484 × 131072)
    floor (66679.5)     		tx = 66679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491024017333984 × 217)
    floor (0.491024017333984 × 131072)
    floor (64359.5)     		ty = 64359
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66679 / 64359 ti = "17/66679/64359"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66679/64359.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66679 ÷ 217
    66679 ÷ 131072     		x = 0.508720397949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64359 ÷ 217
    64359 ÷ 131072     		y = 0.491020202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508720397949219 × 2 - 1) × π
    0.0174407958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05479188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491020202636719 × 2 - 1) × π
    0.0179595947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0564217308528061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05479188} λ = 0.05479188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0564217308528061))-π/2
    2×atan(1.05804379937345)-π/2
    2×0.813594072925112-π/2
    1.62718814585022-1.57079632675     		φ = 0.05639182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05479188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.139343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05639182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.231013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66679 KachelY 64359 0.05479188 0.05639182 3.139343 3.231013
    Oben rechts KachelX + 1 66680 KachelY 64359 0.05483981 0.05639182 3.142090 3.231013
    Unten links KachelX 66679 KachelY + 1 64360 0.05479188 0.05634396 3.139343 3.228271
    Unten rechts KachelX + 1 66680 KachelY + 1 64360 0.05483981 0.05634396 3.142090 3.228271
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05639182-0.05634396) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05639182-0.05634396) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05479188-0.05483981) × cos(0.05639182) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998410402633783 × 6371000     		do = 304.876627321379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05479188-0.05483981) × cos(0.05634396) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998413098972605 × 6371000     		du = 304.877450680876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05639182)-sin(0.05634396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998410402633783-0.998413098972605)×R²
    abs(0.05483981-0.05479188)×2.69633882188369e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.69633882188369e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.69633882188369e-06×40589641000000     		ar = 92961.9055344436m²