Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66676 / 64446
↖ ↑ ↗
← N  2.992413°
E  3.131104°		 ← 304.95 m → N  2.992413°
E  3.133850°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.989670°
E  3.131104°		 ← 304.95 m →
93 002 m²		 N  2.989670°
E  3.133850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508701324462891 y=0.491687774658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508701324462891 × 217)
    floor (0.508701324462891 × 131072)
    floor (66676.5)     		tx = 66676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491687774658203 × 217)
    floor (0.491687774658203 × 131072)
    floor (64446.5)     		ty = 64446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66676 / 64446 ti = "17/66676/64446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66676/64446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66676 ÷ 217
    66676 ÷ 131072     		x = 0.508697509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64446 ÷ 217
    64446 ÷ 131072     		y = 0.491683959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508697509765625 × 2 - 1) × π
    0.01739501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05464807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491683959960938 × 2 - 1) × π
    0.016632080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0522512205858612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05464807} λ = 0.05464807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0522512205858612))-π/2
    2×atan(1.05364040542753)-π/2
    2×0.811511893817837-π/2
    1.62302378763567-1.57079632675     		φ = 0.05222746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05464807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.131104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05222746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.992413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66676 KachelY 64446 0.05464807 0.05222746 3.131104 2.992413
    Oben rechts KachelX + 1 66677 KachelY 64446 0.05469600 0.05222746 3.133850 2.992413
    Unten links KachelX 66676 KachelY + 1 64447 0.05464807 0.05217959 3.131104 2.989670
    Unten rechts KachelX + 1 66677 KachelY + 1 64447 0.05469600 0.05217959 3.133850 2.989670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05222746-0.05217959) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05222746-0.05217959) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05464807-0.05469600) × cos(0.05222746) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998636456198981 × 6371000     		do = 304.945655496937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05464807-0.05469600) × cos(0.05217959) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998638954046836 × 6371000     		du = 304.946418244829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05222746)-sin(0.05217959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998636456198981-0.998638954046836)×R²
    abs(0.05469600-0.05464807)×2.4978478548876e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.4978478548876e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.4978478548876e-06×40589641000000     		ar = 93002.3722050525m²