Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66674 / 64478
↖ ↑ ↗
← N  2.904639°
E  3.125610°		 ← 305.03 m → N  2.904639°
E  3.128357°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.901896°
E  3.125610°		 ← 305.03 m →
93 029 m²		 N  2.901896°
E  3.128357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508686065673828 y=0.491931915283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508686065673828 × 217)
    floor (0.508686065673828 × 131072)
    floor (66674.5)     		tx = 66674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491931915283203 × 217)
    floor (0.491931915283203 × 131072)
    floor (64478.5)     		ty = 64478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66674 / 64478 ti = "17/66674/64478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66674/64478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66674 ÷ 217
    66674 ÷ 131072     		x = 0.508682250976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64478 ÷ 217
    64478 ÷ 131072     		y = 0.491928100585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508682250976562 × 2 - 1) × π
    0.017364501953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05455219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491928100585938 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0507172397980194
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05455219} λ = 0.05455219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0507172397980194))-π/2
    2×atan(1.05202538031375)-π/2
    2×0.810745918879499-π/2
    1.621491837759-1.57079632675     		φ = 0.05069551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05455219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.125610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05069551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.904639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66674 KachelY 64478 0.05455219 0.05069551 3.125610 2.904639
    Oben rechts KachelX + 1 66675 KachelY 64478 0.05460013 0.05069551 3.128357 2.904639
    Unten links KachelX 66674 KachelY + 1 64479 0.05455219 0.05064764 3.125610 2.901896
    Unten rechts KachelX + 1 66675 KachelY + 1 64479 0.05460013 0.05064764 3.128357 2.901896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05069551-0.05064764) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05069551-0.05064764) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05455219-0.05460013) × cos(0.05069551) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99871525782095 × 6371000     		do = 305.033346669231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05455219-0.05460013) × cos(0.05064764) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998717682431359 × 6371000     		du = 305.034087207659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05069551)-sin(0.05064764))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99871525782095-0.998717682431359)×R²
    abs(0.05460013-0.05455219)×2.42461040911301e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.42461040911301e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.42461040911301e-06×40589641000000     		ar = 93029.112851895m²