Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66667 / 64486
↖ ↑ ↗
← N  2.882694°
E  3.106384°		 ← 305.04 m → N  2.882694°
E  3.109131°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.879951°
E  3.106384°		 ← 305.04 m →
93 031 m²		 N  2.879951°
E  3.109131°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508632659912109 y=0.491992950439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508632659912109 × 217)
    floor (0.508632659912109 × 131072)
    floor (66667.5)     		tx = 66667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491992950439453 × 217)
    floor (0.491992950439453 × 131072)
    floor (64486.5)     		ty = 64486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66667 / 64486 ti = "17/66667/64486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66667/64486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66667 ÷ 217
    66667 ÷ 131072     		x = 0.508628845214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64486 ÷ 217
    64486 ÷ 131072     		y = 0.491989135742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508628845214844 × 2 - 1) × π
    0.0172576904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05421663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491989135742188 × 2 - 1) × π
    0.016021728515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.050333744601059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05421663} λ = 0.05421663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.050333744601059))-π/2
    2×atan(1.05162201098336)-π/2
    2×0.810554415771188-π/2
    1.62110883154238-1.57079632675     		φ = 0.05031250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05421663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.106384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05031250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.882694°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66667 KachelY 64486 0.05421663 0.05031250 3.106384 2.882694
    Oben rechts KachelX + 1 66668 KachelY 64486 0.05426457 0.05031250 3.109131 2.882694
    Unten links KachelX 66667 KachelY + 1 64487 0.05421663 0.05026463 3.106384 2.879951
    Unten rechts KachelX + 1 66668 KachelY + 1 64487 0.05426457 0.05026463 3.109131 2.879951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05031250-0.05026463) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05031250-0.05026463) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05421663-0.05426457) × cos(0.05031250) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998734593137721 × 6371000     		do = 305.039252172664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05421663-0.05426457) × cos(0.05026463) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998736999436797 × 6371000     		du = 305.03998711834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05031250)-sin(0.05026463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998734593137721-0.998736999436797)×R²
    abs(0.05426457-0.05421663)×2.40629907610757e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.40629907610757e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.40629907610757e-06×40589641000000     		ar = 93030.913058145m²