Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66666 / 64483
↖ ↑ ↗
← N  2.890923°
E  3.103638°		 ← 304.97 m → N  2.890923°
E  3.106384°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.888181°
E  3.103638°		 ← 304.97 m →
93 011 m²		 N  2.888181°
E  3.106384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508625030517578 y=0.491970062255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508625030517578 × 217)
    floor (0.508625030517578 × 131072)
    floor (66666.5)     		tx = 66666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491970062255859 × 217)
    floor (0.491970062255859 × 131072)
    floor (64483.5)     		ty = 64483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66666 / 64483 ti = "17/66666/64483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66666/64483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66666 ÷ 217
    66666 ÷ 131072     		x = 0.508621215820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64483 ÷ 217
    64483 ÷ 131072     		y = 0.491966247558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508621215820312 × 2 - 1) × π
    0.017242431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05416870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491966247558594 × 2 - 1) × π
    0.0160675048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0504775552999191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05416870} λ = 0.05416870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0504775552999191))-π/2
    2×atan(1.05177325635479)-π/2
    2×0.810626229871137-π/2
    1.62125245974227-1.57079632675     		φ = 0.05045613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05416870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.103638°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05045613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.890923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66666 KachelY 64483 0.05416870 0.05045613 3.103638 2.890923
    Oben rechts KachelX + 1 66667 KachelY 64483 0.05421663 0.05045613 3.106384 2.890923
    Unten links KachelX 66666 KachelY + 1 64484 0.05416870 0.05040826 3.103638 2.888181
    Unten rechts KachelX + 1 66667 KachelY + 1 64484 0.05421663 0.05040826 3.106384 2.888181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05045613-0.05040826) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05045613-0.05040826) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05416870-0.05421663) × cos(0.05045613) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998727359499998 × 6371000     		do = 304.973413913469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05416870-0.05421663) × cos(0.05040826) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998729772665925 × 6371000     		du = 304.974150802715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05045613)-sin(0.05040826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998727359499998-0.998729772665925)×R²
    abs(0.05421663-0.05416870)×2.41316592719532e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.41316592719532e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.41316592719532e-06×40589641000000     		ar = 93010.8340173618m²