Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66665 / 64490
↖ ↑ ↗
← N  2.871722°
E  3.100891°		 ← 305.04 m → N  2.871722°
E  3.103638°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.868978°
E  3.100891°		 ← 305.04 m →
93 051 m²		 N  2.868978°
E  3.103638°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508617401123047 y=0.492023468017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508617401123047 × 217)
    floor (0.508617401123047 × 131072)
    floor (66665.5)     		tx = 66665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492023468017578 × 217)
    floor (0.492023468017578 × 131072)
    floor (64490.5)     		ty = 64490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66665 / 64490 ti = "17/66665/64490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66665/64490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66665 ÷ 217
    66665 ÷ 131072     		x = 0.508613586425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64490 ÷ 217
    64490 ÷ 131072     		y = 0.492019653320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508613586425781 × 2 - 1) × π
    0.0172271728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05412076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492019653320312 × 2 - 1) × π
    0.015960693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0501419970025787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05412076} λ = 0.05412076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0501419970025787))-π/2
    2×atan(1.05142038431958)-π/2
    2×0.810458662830237-π/2
    1.62091732566047-1.57079632675     		φ = 0.05012100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05412076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.100891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05012100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.871722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66665 KachelY 64490 0.05412076 0.05012100 3.100891 2.871722
    Oben rechts KachelX + 1 66666 KachelY 64490 0.05416870 0.05012100 3.103638 2.871722
    Unten links KachelX 66665 KachelY + 1 64491 0.05412076 0.05007312 3.100891 2.868978
    Unten rechts KachelX + 1 66666 KachelY + 1 64491 0.05416870 0.05007312 3.103638 2.868978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05012100-0.05007312) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05012100-0.05007312) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05412076-0.05416870) × cos(0.05012100) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		do = 305.04218806738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05412076-0.05416870) × cos(0.05007312) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998746603248186 × 6371000     		du = 305.042920369584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05012100)-sin(0.05007312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998744205604148-0.998746603248186)×R²
    abs(0.05416870-0.05412076)×2.39764403808795e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.39764403808795e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39764403808795e-06×40589641000000     		ar = 93051.2423046729m²