Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66663 / 64037
↖ ↑ ↗
← N  4.113588°
E  3.095398°		 ← 304.58 m → N  4.113588°
E  3.098144°		 →
↑
304.60 m
↓
↑
304.60 m
↓
N  4.110848°
E  3.095398°		 ← 304.58 m →
92 773 m²		 N  4.110848°
E  3.098144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508602142333984 y=0.488567352294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508602142333984 × 217)
    floor (0.508602142333984 × 131072)
    floor (66663.5)     		tx = 66663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488567352294922 × 217)
    floor (0.488567352294922 × 131072)
    floor (64037.5)     		ty = 64037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66663 / 64037 ti = "17/66663/64037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66663/64037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66663 ÷ 217
    66663 ÷ 131072     		x = 0.508598327636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64037 ÷ 217
    64037 ÷ 131072     		y = 0.488563537597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508598327636719 × 2 - 1) × π
    0.0171966552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05402489
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488563537597656 × 2 - 1) × π
    0.0228729248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0718574125304642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05402489} λ = 0.05402489}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0718574125304642))-π/2
    2×atan(1.07450212260167)-π/2
    2×0.821295989943762-π/2
    1.64259197988752-1.57079632675     		φ = 0.07179565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05402489} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.095398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07179565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.113588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66663 KachelY 64037 0.05402489 0.07179565 3.095398 4.113588
    Oben rechts KachelX + 1 66664 KachelY 64037 0.05407282 0.07179565 3.098144 4.113588
    Unten links KachelX 66663 KachelY + 1 64038 0.05402489 0.07174784 3.095398 4.110848
    Unten rechts KachelX + 1 66664 KachelY + 1 64038 0.05407282 0.07174784 3.098144 4.110848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07179565-0.07174784) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dl = 304.597510000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07179565-0.07174784) × R
    4.78100000000092e-05 × 6371000     		dr = 304.597510000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05402489-0.05407282) × cos(0.07179565) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997423799216149 × 6371000     		do = 304.575356098966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05402489-0.05407282) × cos(0.07174784) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997427227678068 × 6371000     		du = 304.576403021057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07179565)-sin(0.07174784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997423799216149-0.997427227678068)×R²
    abs(0.05407282-0.05402489)×3.42846191891955e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.42846191891955e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.42846191891955e-06×40589641000000     		ar = 92773.0545377183m²