Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66661 / 64489
↖ ↑ ↗
← N  2.874465°
E  3.089905°		 ← 305.04 m → N  2.874465°
E  3.092651°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.871722°
E  3.089905°		 ← 305.04 m →
93 051 m²		 N  2.871722°
E  3.092651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508586883544922 y=0.492015838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508586883544922 × 217)
    floor (0.508586883544922 × 131072)
    floor (66661.5)     		tx = 66661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492015838623047 × 217)
    floor (0.492015838623047 × 131072)
    floor (64489.5)     		ty = 64489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66661 / 64489 ti = "17/66661/64489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66661/64489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66661 ÷ 217
    66661 ÷ 131072     		x = 0.508583068847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64489 ÷ 217
    64489 ÷ 131072     		y = 0.492012023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508583068847656 × 2 - 1) × π
    0.0171661376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05392901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492012023925781 × 2 - 1) × π
    0.0159759521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0501899339021988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05392901} λ = 0.05392901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0501899339021988))-π/2
    2×atan(1.05147078736107)-π/2
    2×0.810482601151849-π/2
    1.6209652023037-1.57079632675     		φ = 0.05016888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05392901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.089905°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05016888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.874465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66661 KachelY 64489 0.05392901 0.05016888 3.089905 2.874465
    Oben rechts KachelX + 1 66662 KachelY 64489 0.05397695 0.05016888 3.092651 2.874465
    Unten links KachelX 66661 KachelY + 1 64490 0.05392901 0.05012100 3.089905 2.871722
    Unten rechts KachelX + 1 66662 KachelY + 1 64490 0.05397695 0.05012100 3.092651 2.871722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05016888-0.05012100) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05016888-0.05012100) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05392901-0.05397695) × cos(0.05016888) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998741805670494 × 6371000     		do = 305.041455065868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05392901-0.05397695) × cos(0.05012100) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998744205604148 × 6371000     		du = 305.04218806738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05016888)-sin(0.05012100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998741805670494-0.998744205604148)×R²
    abs(0.05397695-0.05392901)×2.39993365369617e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.39993365369617e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.39993365369617e-06×40589641000000     		ar = 93051.0188140037m²