Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66659 / 64539
↖ ↑ ↗
← N  2.737300°
E  3.084412°		 ← 305.08 m → N  2.737300°
E  3.087158°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.734557°
E  3.084412°		 ← 305.08 m →
93 062 m²		 N  2.734557°
E  3.087158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508571624755859 y=0.492397308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508571624755859 × 217)
    floor (0.508571624755859 × 131072)
    floor (66659.5)     		tx = 66659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492397308349609 × 217)
    floor (0.492397308349609 × 131072)
    floor (64539.5)     		ty = 64539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66659 / 64539 ti = "17/66659/64539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66659/64539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66659 ÷ 217
    66659 ÷ 131072     		x = 0.508567810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64539 ÷ 217
    64539 ÷ 131072     		y = 0.492393493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508567810058594 × 2 - 1) × π
    0.0171356201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05383314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492393493652344 × 2 - 1) × π
    0.0152130126953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.047793088921196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05383314} λ = 0.05383314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.047793088921196))-π/2
    2×atan(1.04895359274943)-π/2
    2×0.80928561571736-π/2
    1.61857123143472-1.57079632675     		φ = 0.04777490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05383314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.084412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04777490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.737300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66659 KachelY 64539 0.05383314 0.04777490 3.084412 2.737300
    Oben rechts KachelX + 1 66660 KachelY 64539 0.05388108 0.04777490 3.087158 2.737300
    Unten links KachelX 66659 KachelY + 1 64540 0.05383314 0.04772702 3.084412 2.734557
    Unten rechts KachelX + 1 66660 KachelY + 1 64540 0.05388108 0.04772702 3.087158 2.734557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04777490-0.04772702) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04777490-0.04772702) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05383314-0.05388108) × cos(0.04777490) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998858996512533 × 6371000     		do = 305.077248165474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05383314-0.05388108) × cos(0.04772702) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998861281959738 × 6371000     		du = 305.077946199878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04777490)-sin(0.04772702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998858996512533-0.998861281959738)×R²
    abs(0.05388108-0.05383314)×2.28544720481949e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.28544720481949e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.28544720481949e-06×40589641000000     		ar = 93061.9319324203m²