Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66658 / 64547
↖ ↑ ↗
← N  2.715352°
E  3.081665°		 ← 305.08 m → N  2.715352°
E  3.084412°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.712609°
E  3.081665°		 ← 305.08 m →
93 064 m²		 N  2.712609°
E  3.084412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508563995361328 y=0.492458343505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508563995361328 × 217)
    floor (0.508563995361328 × 131072)
    floor (66658.5)     		tx = 66658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492458343505859 × 217)
    floor (0.492458343505859 × 131072)
    floor (64547.5)     		ty = 64547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66658 / 64547 ti = "17/66658/64547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66658/64547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66658 ÷ 217
    66658 ÷ 131072     		x = 0.508560180664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64547 ÷ 217
    64547 ÷ 131072     		y = 0.492454528808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508560180664062 × 2 - 1) × π
    0.017120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05378520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492454528808594 × 2 - 1) × π
    0.0150909423828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0474095937242355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05378520} λ = 0.05378520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0474095937242355))-π/2
    2×atan(1.04855140120897)-π/2
    2×0.809094085154399-π/2
    1.6181881703088-1.57079632675     		φ = 0.04739184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05378520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.081665°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04739184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.715352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66658 KachelY 64547 0.05378520 0.04739184 3.081665 2.715352
    Oben rechts KachelX + 1 66659 KachelY 64547 0.05383314 0.04739184 3.084412 2.715352
    Unten links KachelX 66658 KachelY + 1 64548 0.05378520 0.04734396 3.081665 2.712609
    Unten rechts KachelX + 1 66659 KachelY + 1 64548 0.05383314 0.04734396 3.084412 2.712609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04739184-0.04734396) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04739184-0.04734396) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05378520-0.05383314) × cos(0.04739184) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998877216920612 × 6371000     		do = 305.082813147139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05378520-0.05383314) × cos(0.04734396) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998879484047643 × 6371000     		du = 305.08350558609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04739184)-sin(0.04734396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998877216920612-0.998879484047643)×R²
    abs(0.05383314-0.05378520)×2.26712703088605e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.26712703088605e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.26712703088605e-06×40589641000000     		ar = 93063.6286403583m²