Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66657 / 64033
↖ ↑ ↗
← N  4.124546°
E  3.078918°		 ← 304.63 m → N  4.124546°
E  3.081665°		 →
↑
304.66 m
↓
↑
304.66 m
↓
N  4.121806°
E  3.078918°		 ← 304.64 m →
92 811 m²		 N  4.121806°
E  3.081665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508556365966797 y=0.488536834716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508556365966797 × 217)
    floor (0.508556365966797 × 131072)
    floor (66657.5)     		tx = 66657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.488536834716797 × 217)
    floor (0.488536834716797 × 131072)
    floor (64033.5)     		ty = 64033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66657 / 64033 ti = "17/66657/64033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66657/64033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66657 ÷ 217
    66657 ÷ 131072     		x = 0.508552551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64033 ÷ 217
    64033 ÷ 131072     		y = 0.488533020019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508552551269531 × 2 - 1) × π
    0.0171051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05373726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.488533020019531 × 2 - 1) × π
    0.0229339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0720491601289444
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05373726} λ = 0.05373726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0720491601289444))-π/2
    2×atan(1.07470817555769)-π/2
    2×0.821391616094579-π/2
    1.64278323218916-1.57079632675     		φ = 0.07198691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05373726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.078918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.07198691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.124546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66657 KachelY 64033 0.05373726 0.07198691 3.078918 4.124546
    Oben rechts KachelX + 1 66658 KachelY 64033 0.05378520 0.07198691 3.081665 4.124546
    Unten links KachelX 66657 KachelY + 1 64034 0.05373726 0.07193909 3.078918 4.121806
    Unten rechts KachelX + 1 66658 KachelY + 1 64034 0.05378520 0.07193909 3.081665 4.121806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.07198691-0.07193909) × R
    4.7820000000004e-05 × 6371000     		dl = 304.661220000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.07198691-0.07193909) × R
    4.7820000000004e-05 × 6371000     		dr = 304.661220000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05373726-0.05378520) × cos(0.07198691) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997410061130982 × 6371000     		do = 304.634706004352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05373726-0.05378520) × cos(0.07193909) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997413499432208 × 6371000     		du = 304.635756150048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.07198691)-sin(0.07193909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997410061130982-0.997413499432208)×R²
    abs(0.05378520-0.05373726)×3.43830122584432e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.43830122584432e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.43830122584432e-06×40589641000000     		ar = 92810.5411726723m²