Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66656 / 64544
↖ ↑ ↗
← N  2.723583°
E  3.076172°		 ← 305.02 m → N  2.723583°
E  3.078918°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.720840°
E  3.076172°		 ← 305.02 m →
93 044 m²		 N  2.720840°
E  3.078918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508548736572266 y=0.492435455322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508548736572266 × 217)
    floor (0.508548736572266 × 131072)
    floor (66656.5)     		tx = 66656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492435455322266 × 217)
    floor (0.492435455322266 × 131072)
    floor (64544.5)     		ty = 64544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66656 / 64544 ti = "17/66656/64544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66656/64544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66656 ÷ 217
    66656 ÷ 131072     		x = 0.508544921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64544 ÷ 217
    64544 ÷ 131072     		y = 0.492431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508544921875 × 2 - 1) × π
    0.01708984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05368933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492431640625 × 2 - 1) × π
    0.01513671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0475534044230957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05368933} λ = 0.05368933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0475534044230957))-π/2
    2×atan(1.0487022049621)-π/2
    2×0.809165909524794-π/2
    1.61833181904959-1.57079632675     		φ = 0.04753549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05368933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.076172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04753549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.723583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66656 KachelY 64544 0.05368933 0.04753549 3.076172 2.723583
    Oben rechts KachelX + 1 66657 KachelY 64544 0.05373726 0.04753549 3.078918 2.723583
    Unten links KachelX 66656 KachelY + 1 64545 0.05368933 0.04748761 3.076172 2.720840
    Unten rechts KachelX + 1 66657 KachelY + 1 64545 0.05373726 0.04748761 3.078918 2.720840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04753549-0.04748761) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04753549-0.04748761) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05368933-0.05373726) × cos(0.04753549) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998870401324842 × 6371000     		do = 305.017093455478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05368933-0.05373726) × cos(0.04748761) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998872675322096 × 6371000     		du = 305.017787847896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04753549)-sin(0.04748761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998870401324842-0.998872675322096)×R²
    abs(0.05373726-0.05368933)×2.27399725483135e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.27399725483135e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.27399725483135e-06×40589641000000     		ar = 93043.5815748628m²