Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66653 / 64494
↖ ↑ ↗
← N  2.860749°
E  3.067932°		 ← 304.98 m → N  2.860749°
E  3.070678°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.858006°
E  3.067932°		 ← 304.98 m →
93 033 m²		 N  2.858006°
E  3.070678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508525848388672 y=0.492053985595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508525848388672 × 217)
    floor (0.508525848388672 × 131072)
    floor (66653.5)     		tx = 66653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492053985595703 × 217)
    floor (0.492053985595703 × 131072)
    floor (64494.5)     		ty = 64494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66653 / 64494 ti = "17/66653/64494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66653/64494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66653 ÷ 217
    66653 ÷ 131072     		x = 0.508522033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64494 ÷ 217
    64494 ÷ 131072     		y = 0.492050170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508522033691406 × 2 - 1) × π
    0.0170440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05354552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492050170898438 × 2 - 1) × π
    0.015899658203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0499502494040985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05354552} λ = 0.05354552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0499502494040985))-π/2
    2×atan(1.05121879631352)-π/2
    2×0.810362908969425-π/2
    1.62072581793885-1.57079632675     		φ = 0.04992949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05354552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.067932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04992949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.860749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66653 KachelY 64494 0.05354552 0.04992949 3.067932 2.860749
    Oben rechts KachelX + 1 66654 KachelY 64494 0.05359345 0.04992949 3.070678 2.860749
    Unten links KachelX 66653 KachelY + 1 64495 0.05354552 0.04988161 3.067932 2.858006
    Unten rechts KachelX + 1 66654 KachelY + 1 64495 0.05359345 0.04988161 3.070678 2.858006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04992949-0.04988161) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04992949-0.04988161) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05354552-0.05359345) × cos(0.04992949) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998753781943465 × 6371000     		do = 304.981482324444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05354552-0.05359345) × cos(0.04988161) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998756170429465 × 6371000     		du = 304.982211677377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04992949)-sin(0.04988161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998753781943465-0.998756170429465)×R²
    abs(0.05359345-0.05354552)×2.3884859994272e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.3884859994272e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.3884859994272e-06×40589641000000     		ar = 93032.7239637549m²