Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66653 / 64491
↖ ↑ ↗
← N  2.868978°
E  3.067932°		 ← 304.98 m → N  2.868978°
E  3.070678°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  2.866236°
E  3.067932°		 ← 304.98 m →
93 013 m²		 N  2.866236°
E  3.070678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508525848388672 y=0.492031097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508525848388672 × 217)
    floor (0.508525848388672 × 131072)
    floor (66653.5)     		tx = 66653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492031097412109 × 217)
    floor (0.492031097412109 × 131072)
    floor (64491.5)     		ty = 64491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66653 / 64491 ti = "17/66653/64491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66653/64491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66653 ÷ 217
    66653 ÷ 131072     		x = 0.508522033691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64491 ÷ 217
    64491 ÷ 131072     		y = 0.492027282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508522033691406 × 2 - 1) × π
    0.0170440673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05354552
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492027282714844 × 2 - 1) × π
    0.0159454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0500940601029587
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05354552} λ = 0.05354552}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0500940601029587))-π/2
    2×atan(1.05136998369419)-π/2
    2×0.810434724451134-π/2
    1.62086944890227-1.57079632675     		φ = 0.05007312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05354552} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.067932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05007312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.868978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66653 KachelY 64491 0.05354552 0.05007312 3.067932 2.868978
    Oben rechts KachelX + 1 66654 KachelY 64491 0.05359345 0.05007312 3.070678 2.868978
    Unten links KachelX 66653 KachelY + 1 64492 0.05354552 0.05002525 3.067932 2.866236
    Unten rechts KachelX + 1 66654 KachelY + 1 64492 0.05359345 0.05002525 3.070678 2.866236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05007312-0.05002525) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05007312-0.05002525) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05354552-0.05359345) × cos(0.05007312) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998746603248186 × 6371000     		do = 304.979290223481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05354552-0.05359345) × cos(0.05002525) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998748998102559 × 6371000     		du = 304.980021521074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05007312)-sin(0.05002525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998746603248186-0.998748998102559)×R²
    abs(0.05359345-0.05354552)×2.39485437336651e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.39485437336651e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.39485437336651e-06×40589641000000     		ar = 93012.625320357m²