Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66652 / 64492
↖ ↑ ↗
← N  2.866236°
E  3.065186°		 ← 305.04 m → N  2.866236°
E  3.067932°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.863492°
E  3.065186°		 ← 305.04 m →
93 052 m²		 N  2.863492°
E  3.067932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508518218994141 y=0.492038726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508518218994141 × 217)
    floor (0.508518218994141 × 131072)
    floor (66652.5)     		tx = 66652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492038726806641 × 217)
    floor (0.492038726806641 × 131072)
    floor (64492.5)     		ty = 64492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66652 / 64492 ti = "17/66652/64492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66652/64492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66652 ÷ 217
    66652 ÷ 131072     		x = 0.508514404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64492 ÷ 217
    64492 ÷ 131072     		y = 0.492034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508514404296875 × 2 - 1) × π
    0.01702880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05349758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492034912109375 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0500461232033386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05349758} λ = 0.05349758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0500461232033386))-π/2
    2×atan(1.05131958548479)-π/2
    2×0.810410786014594-π/2
    1.62082157202919-1.57079632675     		φ = 0.05002525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05349758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.065186°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05002525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.866236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66652 KachelY 64492 0.05349758 0.05002525 3.065186 2.866236
    Oben rechts KachelX + 1 66653 KachelY 64492 0.05354552 0.05002525 3.067932 2.866236
    Unten links KachelX 66652 KachelY + 1 64493 0.05349758 0.04997737 3.065186 2.863492
    Unten rechts KachelX + 1 66653 KachelY + 1 64493 0.05354552 0.04997737 3.067932 2.863492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05002525-0.04997737) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05002525-0.04997737) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05349758-0.05354552) × cos(0.05002525) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998748998102559 × 6371000     		do = 305.043651819709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05349758-0.05354552) × cos(0.04997737) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998751391167828 × 6371000     		du = 305.04438272344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05002525)-sin(0.04997737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998748998102559-0.998751391167828)×R²
    abs(0.05354552-0.05349758)×2.39306526883531e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.39306526883531e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.39306526883531e-06×40589641000000     		ar = 93051.6885994801m²