Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66648 / 44216
↖ ↑ ↗
← N 50.415519°
E  3.054199°		 ← 194.62 m → N 50.415519°
E  3.056946°		 →
↑
194.63 m
↓
↑
194.63 m
↓
N 50.413769°
E  3.054199°		 ← 194.63 m →
37 881 m²		 N 50.413769°
E  3.056946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66648 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508487701416016 y=0.337345123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508487701416016 × 217)
    floor (0.508487701416016 × 131072)
    floor (66648.5)     		tx = 66648
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337345123291016 × 217)
    floor (0.337345123291016 × 131072)
    floor (44216.5)     		ty = 44216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66648 / 44216 ti = "17/66648/44216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66648/44216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66648 ÷ 217
    66648 ÷ 131072     		x = 0.50848388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44216 ÷ 217
    44216 ÷ 131072     		y = 0.33734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50848388671875 × 2 - 1) × π
    0.0169677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05330583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33734130859375 × 2 - 1) × π
    0.3253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0220146998996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05330583} λ = 0.05330583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0220146998996))-π/2
    2×atan(2.77878755117897)-π/2
    2×1.22535656113117-π/2
    2.45071312226233-1.57079632675     		φ = 0.87991680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05330583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.054199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87991680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.415519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66648 KachelY 44216 0.05330583 0.87991680 3.054199 50.415519
    Oben rechts KachelX + 1 66649 KachelY 44216 0.05335377 0.87991680 3.056946 50.415519
    Unten links KachelX 66648 KachelY + 1 44217 0.05330583 0.87988625 3.054199 50.413769
    Unten rechts KachelX + 1 66649 KachelY + 1 44217 0.05335377 0.87988625 3.056946 50.413769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87991680-0.87988625) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dl = 194.634050000469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87991680-0.87988625) × R
    3.05500000000736e-05 × 6371000     		dr = 194.634050000469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05330583-0.05335377) × cos(0.87991680) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.637215267467974 × 6371000     		do = 194.621944605717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05330583-0.05335377) × cos(0.87988625) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.637238811623797 × 6371000     		du = 194.629135596932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87991680)-sin(0.87988625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637215267467974-0.637238811623797)×R²
    abs(0.05335377-0.05330583)×2.35441558227301e-05×R²
    4.79400000000033e-05×2.35441558227301e-05×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.35441558227301e-05×40589641000000     		ar = 37880.7571064714m²