Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66646 / 64354
↖ ↑ ↗
← N  3.244724°
E  3.048706°		 ← 304.94 m → N  3.244724°
E  3.051453°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.241982°
E  3.048706°		 ← 304.94 m →
92 980 m²		 N  3.241982°
E  3.051453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508472442626953 y=0.490985870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508472442626953 × 217)
    floor (0.508472442626953 × 131072)
    floor (66646.5)     		tx = 66646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490985870361328 × 217)
    floor (0.490985870361328 × 131072)
    floor (64354.5)     		ty = 64354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66646 / 64354 ti = "17/66646/64354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66646/64354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66646 ÷ 217
    66646 ÷ 131072     		x = 0.508468627929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64354 ÷ 217
    64354 ÷ 131072     		y = 0.490982055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508468627929688 × 2 - 1) × π
    0.016937255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05320996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490982055664062 × 2 - 1) × π
    0.018035888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0566614153509064
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05320996} λ = 0.05320996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0566614153509064))-π/2
    2×atan(1.0582974264645)-π/2
    2×0.813713723863914-π/2
    1.62742744772783-1.57079632675     		φ = 0.05663112
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05320996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.048706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05663112 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.244724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66646 KachelY 64354 0.05320996 0.05663112 3.048706 3.244724
    Oben rechts KachelX + 1 66647 KachelY 64354 0.05325790 0.05663112 3.051453 3.244724
    Unten links KachelX 66646 KachelY + 1 64355 0.05320996 0.05658326 3.048706 3.241982
    Unten rechts KachelX + 1 66647 KachelY + 1 64355 0.05325790 0.05658326 3.051453 3.241982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05663112-0.05658326) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05663112-0.05658326) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05320996-0.05325790) × cos(0.05663112) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99839688663572 × 6371000     		do = 304.936107914387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05320996-0.05325790) × cos(0.05658326) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998399594409172 × 6371000     		du = 304.936934938098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05663112)-sin(0.05658326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99839688663572-0.998399594409172)×R²
    abs(0.05325790-0.05320996)×2.70777345245943e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.70777345245943e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.70777345245943e-06×40589641000000     		ar = 92980.0426811407m²