Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66644 / 64363
↖ ↑ ↗
← N  3.220045°
E  3.043213°		 ← 304.94 m → N  3.220045°
E  3.045959°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.217302°
E  3.043213°		 ← 304.94 m →
93 002 m²		 N  3.217302°
E  3.045959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508457183837891 y=0.491054534912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508457183837891 × 217)
    floor (0.508457183837891 × 131072)
    floor (66644.5)     		tx = 66644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491054534912109 × 217)
    floor (0.491054534912109 × 131072)
    floor (64363.5)     		ty = 64363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66644 / 64363 ti = "17/66644/64363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66644/64363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66644 ÷ 217
    66644 ÷ 131072     		x = 0.508453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64363 ÷ 217
    64363 ÷ 131072     		y = 0.491050720214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508453369140625 × 2 - 1) × π
    0.01690673828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05311408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491050720214844 × 2 - 1) × π
    0.0178985595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0562299832543259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05311408} λ = 0.05311408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0562299832543259))-π/2
    2×atan(1.05784094146521)-π/2
    2×0.813498351009945-π/2
    1.62699670201989-1.57079632675     		φ = 0.05620038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05311408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05620038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.220045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66644 KachelY 64363 0.05311408 0.05620038 3.043213 3.220045
    Oben rechts KachelX + 1 66645 KachelY 64363 0.05316202 0.05620038 3.045959 3.220045
    Unten links KachelX 66644 KachelY + 1 64364 0.05311408 0.05615251 3.043213 3.217302
    Unten rechts KachelX + 1 66645 KachelY + 1 64364 0.05316202 0.05615251 3.045959 3.217302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05620038-0.05615251) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05620038-0.05615251) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05311408-0.05316202) × cos(0.05620038) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998421174267378 × 6371000     		do = 304.943525982259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05311408-0.05316202) × cos(0.05615251) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998423862019614 × 6371000     		du = 304.944346890975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05620038)-sin(0.05615251))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998421174267378-0.998423862019614)×R²
    abs(0.05316202-0.05311408)×2.68775223633e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.68775223633e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.68775223633e-06×40589641000000     		ar = 93001.731615082m²