Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66643 / 64364
↖ ↑ ↗
← N  3.217302°
E  3.040466°		 ← 304.88 m → N  3.217302°
E  3.043213°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.214560°
E  3.040466°		 ← 304.88 m →
92 963 m²		 N  3.214560°
E  3.043213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66643 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508449554443359 y=0.491062164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508449554443359 × 217)
    floor (0.508449554443359 × 131072)
    floor (66643.5)     		tx = 66643
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491062164306641 × 217)
    floor (0.491062164306641 × 131072)
    floor (64364.5)     		ty = 64364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66643 / 64364 ti = "17/66643/64364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66643/64364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66643 ÷ 217
    66643 ÷ 131072     		x = 0.508445739746094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64364 ÷ 217
    64364 ÷ 131072     		y = 0.491058349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508445739746094 × 2 - 1) × π
    0.0168914794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05306615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491058349609375 × 2 - 1) × π
    0.01788330078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0561820463547058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05306615} λ = 0.05306615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0561820463547058))-π/2
    2×atan(1.0577902330656)-π/2
    2×0.813474420369925-π/2
    1.62694884073985-1.57079632675     		φ = 0.05615251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05306615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.040466°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05615251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.217302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66643 KachelY 64364 0.05306615 0.05615251 3.040466 3.217302
    Oben rechts KachelX + 1 66644 KachelY 64364 0.05311408 0.05615251 3.043213 3.217302
    Unten links KachelX 66643 KachelY + 1 64365 0.05306615 0.05610465 3.040466 3.214560
    Unten rechts KachelX + 1 66644 KachelY + 1 64365 0.05311408 0.05610465 3.043213 3.214560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05615251-0.05610465) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05615251-0.05610465) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05306615-0.05311408) × cos(0.05615251) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998423862019614 × 6371000     		do = 304.880737306759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05306615-0.05311408) × cos(0.05610465) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998426546923173 × 6371000     		du = 304.88155717436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05615251)-sin(0.05610465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998423862019614-0.998426546923173)×R²
    abs(0.05311408-0.05306615)×2.68490355903594e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.68490355903594e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.68490355903594e-06×40589641000000     		ar = 92963.1582026331m²