Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66641 / 64498
↖ ↑ ↗
← N  2.849776°
E  3.034973°		 ← 305.05 m → N  2.849776°
E  3.037720°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.847033°
E  3.034973°		 ← 305.05 m →
93 053 m²		 N  2.847033°
E  3.037720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508434295654297 y=0.492084503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508434295654297 × 217)
    floor (0.508434295654297 × 131072)
    floor (66641.5)     		tx = 66641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492084503173828 × 217)
    floor (0.492084503173828 × 131072)
    floor (64498.5)     		ty = 64498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66641 / 64498 ti = "17/66641/64498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66641/64498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66641 ÷ 217
    66641 ÷ 131072     		x = 0.508430480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64498 ÷ 217
    64498 ÷ 131072     		y = 0.492080688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508430480957031 × 2 - 1) × π
    0.0168609619140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05297027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492080688476562 × 2 - 1) × π
    0.015838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0497585018056183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05297027} λ = 0.05297027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0497585018056183))-π/2
    2×atan(1.05101724695777)-π/2
    2×0.810267154192255-π/2
    1.62053430838451-1.57079632675     		φ = 0.04973798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05297027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.034973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04973798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.849776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66641 KachelY 64498 0.05297027 0.04973798 3.034973 2.849776
    Oben rechts KachelX + 1 66642 KachelY 64498 0.05301821 0.04973798 3.037720 2.849776
    Unten links KachelX 66641 KachelY + 1 64499 0.05297027 0.04969010 3.034973 2.847033
    Unten rechts KachelX + 1 66642 KachelY + 1 64499 0.05301821 0.04969010 3.037720 2.847033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04973798-0.04969010) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04973798-0.04969010) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05297027-0.05301821) × cos(0.04973798) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998763321652409 × 6371000     		do = 305.048026600566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05297027-0.05301821) × cos(0.04969010) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998765700980282 × 6371000     		du = 305.048753308542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04973798)-sin(0.04969010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998763321652409-0.998765700980282)×R²
    abs(0.05301821-0.05297027)×2.37932787316986e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.37932787316986e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.37932787316986e-06×40589641000000     		ar = 93053.022457909m²