Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66640 / 64367
↖ ↑ ↗
← N  3.209075°
E  3.032227°		 ← 304.88 m → N  3.209075°
E  3.034973°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.206333°
E  3.032227°		 ← 304.88 m →
92 964 m²		 N  3.206333°
E  3.034973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508426666259766 y=0.491085052490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508426666259766 × 217)
    floor (0.508426666259766 × 131072)
    floor (66640.5)     		tx = 66640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491085052490234 × 217)
    floor (0.491085052490234 × 131072)
    floor (64367.5)     		ty = 64367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66640 / 64367 ti = "17/66640/64367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66640/64367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66640 ÷ 217
    66640 ÷ 131072     		x = 0.5084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64367 ÷ 217
    64367 ÷ 131072     		y = 0.491081237792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05292234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491081237792969 × 2 - 1) × π
    0.0178375244140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0560382356558456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05292234} λ = 0.05292234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0560382356558456))-π/2
    2×atan(1.05763812245077)-π/2
    2×0.813402628063789-π/2
    1.62680525612758-1.57079632675     		φ = 0.05600893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05292234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05600893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.209075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66640 KachelY 64367 0.05292234 0.05600893 3.032227 3.209075
    Oben rechts KachelX + 1 66641 KachelY 64367 0.05297027 0.05600893 3.034973 3.209075
    Unten links KachelX 66640 KachelY + 1 64368 0.05292234 0.05596107 3.032227 3.206333
    Unten rechts KachelX + 1 66641 KachelY + 1 64368 0.05297027 0.05596107 3.034973 3.206333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05600893-0.05596107) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05600893-0.05596107) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05292234-0.05297027) × cos(0.05600893) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998431909869359 × 6371000     		do = 304.883194814494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05292234-0.05297027) × cos(0.05596107) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998434587911973 × 6371000     		du = 304.884012587024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05600893)-sin(0.05596107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998431909869359-0.998434587911973)×R²
    abs(0.05297027-0.05292234)×2.67804261411264e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.67804261411264e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.67804261411264e-06×40589641000000     		ar = 92963.9072167768m²