Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66640 / 44208
↖ ↑ ↗
← N 50.429518°
E  3.032227°		 ← 194.52 m → N 50.429518°
E  3.034973°		 →
↑
194.57 m
↓
↑
194.57 m
↓
N 50.427768°
E  3.032227°		 ← 194.53 m →
37 849 m²		 N 50.427768°
E  3.034973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508426666259766 y=0.337284088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508426666259766 × 217)
    floor (0.508426666259766 × 131072)
    floor (66640.5)     		tx = 66640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337284088134766 × 217)
    floor (0.337284088134766 × 131072)
    floor (44208.5)     		ty = 44208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66640 / 44208 ti = "17/66640/44208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66640/44208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66640 ÷ 217
    66640 ÷ 131072     		x = 0.5084228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44208 ÷ 217
    44208 ÷ 131072     		y = 0.3372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5084228515625 × 2 - 1) × π
    0.016845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05292234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3372802734375 × 2 - 1) × π
    0.325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02239819509656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05292234} λ = 0.05292234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02239819509656))-π/2
    2×atan(2.7798534072205)-π/2
    2×1.22547872757357-π/2
    2.45095745514715-1.57079632675     		φ = 0.88016113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05292234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88016113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.429518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66640 KachelY 44208 0.05292234 0.88016113 3.032227 50.429518
    Oben rechts KachelX + 1 66641 KachelY 44208 0.05297027 0.88016113 3.034973 50.429518
    Unten links KachelX 66640 KachelY + 1 44209 0.05292234 0.88013059 3.032227 50.427768
    Unten rechts KachelX + 1 66641 KachelY + 1 44209 0.05297027 0.88013059 3.034973 50.427768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88016113-0.88013059) × R
    3.05399999999123e-05 × 6371000     		dl = 194.570339999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88016113-0.88013059) × R
    3.05399999999123e-05 × 6371000     		dr = 194.570339999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05292234-0.05297027) × cos(0.88016113) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.637026946772422 × 6371000     		do = 194.523841631135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05292234-0.05297027) × cos(0.88013059) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.637050487975763 × 6371000     		du = 194.531030220776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88016113)-sin(0.88013059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637026946772422-0.637050487975763)×R²
    abs(0.05297027-0.05292234)×2.35412033409155e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.35412033409155e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.35412033409155e-05×40589641000000     		ar = 37849.2693502938m²