Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6664 / 7736
↖ ↑ ↗
← S 82.983404°
E112.851562°		 ← 596.92 m → S 82.983404°
E112.895508°		 →
↑
596.64 m
↓
↑
596.64 m
↓
S 82.988770°
E112.851562°		 ← 596.46 m →
356 012 m²		 S 82.988770°
E112.895508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7736 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81353759765625 y=0.94439697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81353759765625 × 213)
    floor (0.81353759765625 × 8192)
    floor (6664.5)     		tx = 6664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94439697265625 × 213)
    floor (0.94439697265625 × 8192)
    floor (7736.5)     		ty = 7736
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6664 / 7736 ti = "13/6664/7736"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6664/7736.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6664 ÷ 213
    6664 ÷ 8192     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7736 ÷ 213
    7736 ÷ 8192     		y = 0.9443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    -0.888671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.79184503387207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.79184503387207))-π/2
    2×atan(0.0613079941741098)-π/2
    2×0.0612313547614921-π/2
    0.122462709522984-1.57079632675     		φ = -1.44833362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44833362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.983404°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6664 KachelY 7736 1.96963133 -1.44833362 112.851562 -82.983404
    Oben rechts KachelX + 1 6665 KachelY 7736 1.97039832 -1.44833362 112.895508 -82.983404
    Unten links KachelX 6664 KachelY + 1 7737 1.96963133 -1.44842727 112.851562 -82.988770
    Unten rechts KachelX + 1 6665 KachelY + 1 7737 1.97039832 -1.44842727 112.895508 -82.988770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44833362--1.44842727) × R
    9.36499999999452e-05 × 6371000     		dl = 596.644149999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44833362--1.44842727) × R
    9.36499999999452e-05 × 6371000     		dr = 596.644149999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.97039832) × cos(-1.44833362) × R
    0.000766990000000023 × 0.122156838368435 × 6371000     		do = 596.918571014988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.97039832) × cos(-1.44842727) × R
    0.000766990000000023 × 0.12206388919559 × 6371000     		du = 596.464375505571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44833362)-sin(-1.44842727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.122156838368435-0.12206388919559)×R²
    abs(1.97039832-1.96963133)×9.29491728448445e-05×R²
    0.000766990000000023×9.29491728448445e-05×6371000²
    0.000766990000000023×9.29491728448445e-05×40589641000000     		ar = 356012.477137446m²