Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66639 / 66540
↖ ↑ ↗
← S  2.756505°
E  3.029480°		 ← 305.07 m → S  2.756505°
E  3.032227°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.759248°
E  3.029480°		 ← 305.07 m →
93 060 m²		 S  2.759248°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508419036865234 y=0.507663726806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508419036865234 × 217)
    floor (0.508419036865234 × 131072)
    floor (66639.5)     		tx = 66639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507663726806641 × 217)
    floor (0.507663726806641 × 131072)
    floor (66540.5)     		ty = 66540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66639 / 66540 ti = "17/66639/66540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66639/66540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66639 ÷ 217
    66639 ÷ 131072     		x = 0.508415222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66540 ÷ 217
    66540 ÷ 131072     		y = 0.507659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508415222167969 × 2 - 1) × π
    0.0168304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05287440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.01531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0481286472185364
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05287440} λ = 0.05287440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0481286472185364))-π/2
    2×atan(0.953011176953799)-π/2
    2×0.761343124711439-π/2
    1.52268624942288-1.57079632675     		φ = -0.04811008
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05287440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.029480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04811008 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.756505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66639 KachelY 66540 0.05287440 -0.04811008 3.029480 -2.756505
    Oben rechts KachelX + 1 66640 KachelY 66540 0.05292234 -0.04811008 3.032227 -2.756505
    Unten links KachelX 66639 KachelY + 1 66541 0.05287440 -0.04815796 3.029480 -2.759248
    Unten rechts KachelX + 1 66640 KachelY + 1 66541 0.05292234 -0.04815796 3.032227 -2.759248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04811008--0.04815796) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04811008--0.04815796) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05287440-0.05292234) × cos(-0.04811008) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99884293330396 × 6371000     		do = 305.072342048109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05287440-0.05292234) × cos(-0.04815796) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998840629536917 × 6371000     		du = 305.071638418355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04811008)-sin(-0.04815796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99884293330396-0.998840629536917)×R²
    abs(0.05292234-0.05287440)×2.30376704335455e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.30376704335455e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.30376704335455e-06×40589641000000     		ar = 93060.2215690384m²