Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66639 / 66537
↖ ↑ ↗
← S  2.748274°
E  3.029480°		 ← 305.07 m → S  2.748274°
E  3.032227°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.751017°
E  3.029480°		 ← 305.07 m →
93 061 m²		 S  2.751017°
E  3.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508419036865234 y=0.507640838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508419036865234 × 217)
    floor (0.508419036865234 × 131072)
    floor (66639.5)     		tx = 66639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507640838623047 × 217)
    floor (0.507640838623047 × 131072)
    floor (66537.5)     		ty = 66537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66639 / 66537 ti = "17/66639/66537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66639/66537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66639 ÷ 217
    66639 ÷ 131072     		x = 0.508415222167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66537 ÷ 217
    66537 ÷ 131072     		y = 0.507637023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508415222167969 × 2 - 1) × π
    0.0168304443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05287440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507637023925781 × 2 - 1) × π
    -0.0152740478515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0479848365196762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05287440} λ = 0.05287440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0479848365196762))-π/2
    2×atan(0.953148240012509)-π/2
    2×0.76141494710971-π/2
    1.52282989421942-1.57079632675     		φ = -0.04796643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05287440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.029480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04796643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.748274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66639 KachelY 66537 0.05287440 -0.04796643 3.029480 -2.748274
    Oben rechts KachelX + 1 66640 KachelY 66537 0.05292234 -0.04796643 3.032227 -2.748274
    Unten links KachelX 66639 KachelY + 1 66538 0.05287440 -0.04801431 3.029480 -2.751017
    Unten rechts KachelX + 1 66640 KachelY + 1 66538 0.05292234 -0.04801431 3.032227 -2.751017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04796643--0.04801431) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04796643--0.04801431) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05287440-0.05292234) × cos(-0.04796643) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998849831345499 × 6371000     		do = 305.074448887551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05287440-0.05292234) × cos(-0.04801431) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998847534448475 × 6371000     		du = 305.073747356078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04796643)-sin(-0.04801431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998849831345499-0.998847534448475)×R²
    abs(0.05292234-0.05287440)×2.29689702391234e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.29689702391234e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.29689702391234e-06×40589641000000     		ar = 93060.8645667143m²