Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66638 / 66550
↖ ↑ ↗
← S  2.783938°
E  3.026733°		 ← 305.07 m → S  2.783938°
E  3.029480°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.786682°
E  3.026733°		 ← 305.06 m →
93 058 m²		 S  2.786682°
E  3.029480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508411407470703 y=0.507740020751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508411407470703 × 217)
    floor (0.508411407470703 × 131072)
    floor (66638.5)     		tx = 66638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507740020751953 × 217)
    floor (0.507740020751953 × 131072)
    floor (66550.5)     		ty = 66550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66638 / 66550 ti = "17/66638/66550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66638/66550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66638 ÷ 217
    66638 ÷ 131072     		x = 0.508407592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66550 ÷ 217
    66550 ÷ 131072     		y = 0.507736206054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508407592773438 × 2 - 1) × π
    0.016815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05282646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507736206054688 × 2 - 1) × π
    -0.015472412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.0486080162147369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05282646} λ = 0.05282646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0486080162147369))-π/2
    2×atan(0.952554442423468)-π/2
    2×0.761103720312982-π/2
    1.52220744062596-1.57079632675     		φ = -0.04858889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05282646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.026733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04858889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.783938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66638 KachelY 66550 0.05282646 -0.04858889 3.026733 -2.783938
    Oben rechts KachelX + 1 66639 KachelY 66550 0.05287440 -0.04858889 3.029480 -2.783938
    Unten links KachelX 66638 KachelY + 1 66551 0.05282646 -0.04863677 3.026733 -2.786682
    Unten rechts KachelX + 1 66639 KachelY + 1 66551 0.05287440 -0.04863677 3.029480 -2.786682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04858889--0.04863677) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04858889--0.04863677) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05282646-0.05287440) × cos(-0.04858889) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99881979210582 × 6371000     		do = 305.065274130587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05282646-0.05287440) × cos(-0.04863677) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998817465440171 × 6371000     		du = 305.064563507009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04858889)-sin(-0.04863677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99881979210582-0.998817465440171)×R²
    abs(0.05287440-0.05282646)×2.32666564858874e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.32666564858874e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.32666564858874e-06×40589641000000     		ar = 93058.0644801841m²