Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66635 / 68599
↖ ↑ ↗
← S  8.382714°
E  3.018493°		 ← 302.16 m → S  8.382714°
E  3.021240°		 →
↑
302.11 m
↓
↑
302.11 m
↓
S  8.385431°
E  3.018493°		 ← 302.16 m →
91 287 m²		 S  8.385431°
E  3.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508388519287109 y=0.523372650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508388519287109 × 217)
    floor (0.508388519287109 × 131072)
    floor (66635.5)     		tx = 66635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.523372650146484 × 217)
    floor (0.523372650146484 × 131072)
    floor (68599.5)     		ty = 68599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66635 / 68599 ti = "17/66635/68599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66635/68599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66635 ÷ 217
    66635 ÷ 131072     		x = 0.508384704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68599 ÷ 217
    68599 ÷ 131072     		y = 0.523368835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508384704589844 × 2 - 1) × π
    0.0167694091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05268265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.523368835449219 × 2 - 1) × π
    -0.0467376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.146830723536232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05268265} λ = 0.05268265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.146830723536232))-π/2
    2×atan(0.863440125137344)-π/2
    2×0.71224518548596-π/2
    1.42449037097192-1.57079632675     		φ = -0.14630596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05268265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.018493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14630596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.382714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66635 KachelY 68599 0.05268265 -0.14630596 3.018493 -8.382714
    Oben rechts KachelX + 1 66636 KachelY 68599 0.05273059 -0.14630596 3.021240 -8.382714
    Unten links KachelX 66635 KachelY + 1 68600 0.05268265 -0.14635338 3.018493 -8.385431
    Unten rechts KachelX + 1 66636 KachelY + 1 68600 0.05273059 -0.14635338 3.021240 -8.385431
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14630596--0.14635338) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dl = 302.112819999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14630596--0.14635338) × R
    4.74199999999925e-05 × 6371000     		dr = 302.112819999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05268265-0.05273059) × cos(-0.14630596) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989316360775893 × 6371000     		do = 302.162681584105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05268265-0.05273059) × cos(-0.14635338) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.989309446559684 × 6371000     		du = 302.160569804503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14630596)-sin(-0.14635338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989316360775893-0.989309446559684)×R²
    abs(0.05273059-0.05268265)×6.91421620857557e-06×R²
    4.79400000000033e-05×6.91421620857557e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×6.91421620857557e-06×40589641000000     		ar = 91286.9008513762m²