Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66634 / 66549
↖ ↑ ↗
← S  2.781195°
E  3.015747°		 ← 305 m → S  2.781195°
E  3.018493°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
S  2.783938°
E  3.015747°		 ← 305 m →
93 039 m²		 S  2.783938°
E  3.018493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508380889892578 y=0.507732391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508380889892578 × 217)
    floor (0.508380889892578 × 131072)
    floor (66634.5)     		tx = 66634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.507732391357422 × 217)
    floor (0.507732391357422 × 131072)
    floor (66549.5)     		ty = 66549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66634 / 66549 ti = "17/66634/66549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66634/66549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66634 ÷ 217
    66634 ÷ 131072     		x = 0.508377075195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66549 ÷ 217
    66549 ÷ 131072     		y = 0.507728576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508377075195312 × 2 - 1) × π
    0.016754150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05263472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.507728576660156 × 2 - 1) × π
    -0.0154571533203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0485600793151169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05263472} λ = 0.05263472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0485600793151169))-π/2
    2×atan(0.952600106024634)-π/2
    2×0.761127660502903-π/2
    1.52225532100581-1.57079632675     		φ = -0.04854101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05263472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.015747°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04854101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.781195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66634 KachelY 66549 0.05263472 -0.04854101 3.015747 -2.781195
    Oben rechts KachelX + 1 66635 KachelY 66549 0.05268265 -0.04854101 3.018493 -2.781195
    Unten links KachelX 66634 KachelY + 1 66550 0.05263472 -0.04858889 3.015747 -2.783938
    Unten rechts KachelX + 1 66635 KachelY + 1 66550 0.05268265 -0.04858889 3.018493 -2.783938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04854101--0.04858889) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04854101--0.04858889) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05263472-0.05268265) × cos(-0.04854101) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.998822116481679 × 6371000     		do = 305.002349097708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05263472-0.05268265) × cos(-0.04858889) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.99881979210582 × 6371000     		du = 305.001639321577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04854101)-sin(-0.04858889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998822116481679-0.99881979210582)×R²
    abs(0.05268265-0.05263472)×2.32437585978573e-06×R²
    4.79299999999946e-05×2.32437585978573e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×2.32437585978573e-06×40589641000000     		ar = 93038.8697384235m²