Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66629 / 64411
↖ ↑ ↗
← N  3.088408°
E  3.002014°		 ← 304.98 m → N  3.088408°
E  3.004761°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.085665°
E  3.002014°		 ← 304.98 m →
93 014 m²		 N  3.085665°
E  3.004761°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508342742919922 y=0.491420745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508342742919922 × 217)
    floor (0.508342742919922 × 131072)
    floor (66629.5)     		tx = 66629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491420745849609 × 217)
    floor (0.491420745849609 × 131072)
    floor (64411.5)     		ty = 64411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66629 / 64411 ti = "17/66629/64411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66629/64411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66629 ÷ 217
    66629 ÷ 131072     		x = 0.508338928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64411 ÷ 217
    64411 ÷ 131072     		y = 0.491416931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508338928222656 × 2 - 1) × π
    0.0166778564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05239503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491416931152344 × 2 - 1) × π
    0.0171661376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0539290120725632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05239503} λ = 0.05239503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0539290120725632))-π/2
    2×atan(1.05540967815011)-π/2
    2×0.812349608611134-π/2
    1.62469921722227-1.57079632675     		φ = 0.05390289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05239503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.002014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05390289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.088408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66629 KachelY 64411 0.05239503 0.05390289 3.002014 3.088408
    Oben rechts KachelX + 1 66630 KachelY 64411 0.05244297 0.05390289 3.004761 3.088408
    Unten links KachelX 66629 KachelY + 1 64412 0.05239503 0.05385502 3.002014 3.085665
    Unten rechts KachelX + 1 66630 KachelY + 1 64412 0.05244297 0.05385502 3.004761 3.085665
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05390289-0.05385502) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05390289-0.05385502) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05239503-0.05244297) × cos(0.05390289) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99854759094307 × 6371000     		do = 304.982136888981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05239503-0.05244297) × cos(0.05385502) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998550168880956 × 6371000     		du = 304.982924257567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05390289)-sin(0.05385502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99854759094307-0.998550168880956)×R²
    abs(0.05244297-0.05239503)×2.57793788582816e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.57793788582816e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.57793788582816e-06×40589641000000     		ar = 93013.5020460139m²