Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66626 / 64405
↖ ↑ ↗
← N  3.104863°
E  2.993774°		 ← 304.98 m → N  3.104863°
E  2.996521°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.102121°
E  2.993774°		 ← 304.98 m →
92 993 m²		 N  3.102121°
E  2.996521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66626 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508319854736328 y=0.491374969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508319854736328 × 217)
    floor (0.508319854736328 × 131072)
    floor (66626.5)     		tx = 66626
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491374969482422 × 217)
    floor (0.491374969482422 × 131072)
    floor (64405.5)     		ty = 64405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66626 / 64405 ti = "17/66626/64405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66626/64405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66626 ÷ 217
    66626 ÷ 131072     		x = 0.508316040039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64405 ÷ 217
    64405 ÷ 131072     		y = 0.491371154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508316040039062 × 2 - 1) × π
    0.016632080078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05225122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491371154785156 × 2 - 1) × π
    0.0172576904296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0542166334702835
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05225122} λ = 0.05225122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0542166334702835))-π/2
    2×atan(1.05571328021604)-π/2
    2×0.812493209323426-π/2
    1.62498641864685-1.57079632675     		φ = 0.05419009
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05225122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.993774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05419009 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.104863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66626 KachelY 64405 0.05225122 0.05419009 2.993774 3.104863
    Oben rechts KachelX + 1 66627 KachelY 64405 0.05229916 0.05419009 2.996521 3.104863
    Unten links KachelX 66626 KachelY + 1 64406 0.05225122 0.05414223 2.993774 3.102121
    Unten rechts KachelX + 1 66627 KachelY + 1 64406 0.05229916 0.05414223 2.996521 3.102121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05419009-0.05414223) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05419009-0.05414223) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05225122-0.05229916) × cos(0.05419009) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998532076346852 × 6371000     		do = 304.97739833195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05225122-0.05229916) × cos(0.05414223) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998534667471787 × 6371000     		du = 304.978189728201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05419009)-sin(0.05414223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998532076346852-0.998534667471787)×R²
    abs(0.05229916-0.05225122)×2.59112493516955e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.59112493516955e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.59112493516955e-06×40589641000000     		ar = 92992.6273608967m²