Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66625 / 64403
↖ ↑ ↗
← N  3.110348°
E  2.991028°		 ← 304.98 m → N  3.110348°
E  2.993774°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.107606°
E  2.991028°		 ← 304.98 m →
92 992 m²		 N  3.107606°
E  2.993774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508312225341797 y=0.491359710693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508312225341797 × 217)
    floor (0.508312225341797 × 131072)
    floor (66625.5)     		tx = 66625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491359710693359 × 217)
    floor (0.491359710693359 × 131072)
    floor (64403.5)     		ty = 64403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66625 / 64403 ti = "17/66625/64403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66625/64403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66625 ÷ 217
    66625 ÷ 131072     		x = 0.508308410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64403 ÷ 217
    64403 ÷ 131072     		y = 0.491355895996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508308410644531 × 2 - 1) × π
    0.0166168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05220328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491355895996094 × 2 - 1) × π
    0.0172882080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0543125072695236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05220328} λ = 0.05220328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0543125072695236))-π/2
    2×atan(1.05581450031122)-π/2
    2×0.812541075730977-π/2
    1.62508215146195-1.57079632675     		φ = 0.05428582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05220328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.991028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05428582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.110348°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66625 KachelY 64403 0.05220328 0.05428582 2.991028 3.110348
    Oben rechts KachelX + 1 66626 KachelY 64403 0.05225122 0.05428582 2.993774 3.110348
    Unten links KachelX 66625 KachelY + 1 64404 0.05220328 0.05423796 2.991028 3.107606
    Unten rechts KachelX + 1 66626 KachelY + 1 64404 0.05225122 0.05423796 2.993774 3.107606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05428582-0.05423796) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05428582-0.05423796) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05220328-0.05225122) × cos(0.05428582) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998526886692745 × 6371000     		do = 304.975813278048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05220328-0.05225122) × cos(0.05423796) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998529482392586 × 6371000     		du = 304.976606071593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05428582)-sin(0.05423796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998526886692745-0.998529482392586)×R²
    abs(0.05225122-0.05220328)×2.5956998415122e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.5956998415122e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.5956998415122e-06×40589641000000     		ar = 92992.1442655137m²