Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66623 / 63809
↖ ↑ ↗
← N  4.737938°
E  2.985535°		 ← 304.38 m → N  4.737938°
E  2.988281°		 →
↑
304.34 m
↓
↑
304.34 m
↓
N  4.735201°
E  2.985535°		 ← 304.38 m →
92 637 m²		 N  4.735201°
E  2.988281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508296966552734 y=0.486827850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508296966552734 × 217)
    floor (0.508296966552734 × 131072)
    floor (66623.5)     		tx = 66623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.486827850341797 × 217)
    floor (0.486827850341797 × 131072)
    floor (63809.5)     		ty = 63809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66623 / 63809 ti = "17/66623/63809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66623/63809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66623 ÷ 217
    66623 ÷ 131072     		x = 0.508293151855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63809 ÷ 217
    63809 ÷ 131072     		y = 0.486824035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508293151855469 × 2 - 1) × π
    0.0165863037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05210741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.486824035644531 × 2 - 1) × π
    0.0263519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.082787025643837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05210741} λ = 0.05210741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.082787025643837))-π/2
    2×atan(1.08631042764609)-π/2
    2×0.82674447401235-π/2
    1.6534889480247-1.57079632675     		φ = 0.08269262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05210741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.985535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.08269262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 4.737938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66623 KachelY 63809 0.05210741 0.08269262 2.985535 4.737938
    Oben rechts KachelX + 1 66624 KachelY 63809 0.05215535 0.08269262 2.988281 4.737938
    Unten links KachelX 66623 KachelY + 1 63810 0.05210741 0.08264485 2.985535 4.735201
    Unten rechts KachelX + 1 66624 KachelY + 1 63810 0.05215535 0.08264485 2.988281 4.735201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.08269262-0.08264485) × R
    4.77699999999887e-05 × 6371000     		dl = 304.342669999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.08269262-0.08264485) × R
    4.77699999999887e-05 × 6371000     		dr = 304.342669999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05210741-0.05215535) × cos(0.08269262) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99658291315445 × 6371000     		do = 304.382073721574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05210741-0.05215535) × cos(0.08264485) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99658685774337 × 6371000     		du = 304.383278500564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.08269262)-sin(0.08264485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99658291315445-0.99658685774337)×R²
    abs(0.05215535-0.05210741)×3.94458892016836e-06×R²
    4.79400000000033e-05×3.94458892016836e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×3.94458892016836e-06×40589641000000     		ar = 92636.6363669788m²