Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66620 / 64375
↖ ↑ ↗
← N  3.187137°
E  2.977295°		 ← 304.95 m → N  3.187137°
E  2.980042°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.184395°
E  2.977295°		 ← 304.95 m →
92 985 m²		 N  3.184395°
E  2.980042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508274078369141 y=0.491146087646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508274078369141 × 217)
    floor (0.508274078369141 × 131072)
    floor (66620.5)     		tx = 66620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491146087646484 × 217)
    floor (0.491146087646484 × 131072)
    floor (64375.5)     		ty = 64375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66620 / 64375 ti = "17/66620/64375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66620/64375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66620 ÷ 217
    66620 ÷ 131072     		x = 0.508270263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64375 ÷ 217
    64375 ÷ 131072     		y = 0.491142272949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508270263671875 × 2 - 1) × π
    0.01654052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05196360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491142272949219 × 2 - 1) × π
    0.0177154541015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0556547404588852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05196360} λ = 0.05196360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0556547404588852))-π/2
    2×atan(1.0572326010734)-π/2
    2×0.813211179092497-π/2
    1.62642235818499-1.57079632675     		φ = 0.05562603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05196360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05562603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.187137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66620 KachelY 64375 0.05196360 0.05562603 2.977295 3.187137
    Oben rechts KachelX + 1 66621 KachelY 64375 0.05201154 0.05562603 2.980042 3.187137
    Unten links KachelX 66620 KachelY + 1 64376 0.05196360 0.05557817 2.977295 3.184395
    Unten rechts KachelX + 1 66621 KachelY + 1 64376 0.05201154 0.05557817 2.980042 3.184395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05562603-0.05557817) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05562603-0.05557817) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05196360-0.05201154) × cos(0.05562603) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998453271286047 × 6371000     		do = 304.953329237982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05196360-0.05201154) × cos(0.05557817) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998455931031583 × 6371000     		du = 304.954141592731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05562603)-sin(0.05557817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998453271286047-0.998455931031583)×R²
    abs(0.05201154-0.05196360)×2.65974553592674e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.65974553592674e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.65974553592674e-06×40589641000000     		ar = 92985.2915028812m²