Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66619 / 64331
↖ ↑ ↗
← N  3.307792°
E  2.974548°		 ← 304.92 m → N  3.307792°
E  2.977295°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.305050°
E  2.974548°		 ← 304.92 m →
92 974 m²		 N  3.305050°
E  2.977295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508266448974609 y=0.490810394287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508266448974609 × 217)
    floor (0.508266448974609 × 131072)
    floor (66619.5)     		tx = 66619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490810394287109 × 217)
    floor (0.490810394287109 × 131072)
    floor (64331.5)     		ty = 64331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66619 / 64331 ti = "17/66619/64331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66619/64331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66619 ÷ 217
    66619 ÷ 131072     		x = 0.508262634277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64331 ÷ 217
    64331 ÷ 131072     		y = 0.490806579589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508262634277344 × 2 - 1) × π
    0.0165252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05191566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490806579589844 × 2 - 1) × π
    0.0183868408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0577639640421677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05191566} λ = 0.05191566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0577639640421677))-π/2
    2×atan(1.05946489438386)-π/2
    2×0.81426409716984-π/2
    1.62852819433968-1.57079632675     		φ = 0.05773187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05191566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.974548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05773187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.307792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66619 KachelY 64331 0.05191566 0.05773187 2.974548 3.307792
    Oben rechts KachelX + 1 66620 KachelY 64331 0.05196360 0.05773187 2.977295 3.307792
    Unten links KachelX 66619 KachelY + 1 64332 0.05191566 0.05768401 2.974548 3.305050
    Unten rechts KachelX + 1 66620 KachelY + 1 64332 0.05196360 0.05768401 2.977295 3.305050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05773187-0.05768401) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05773187-0.05768401) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05191566-0.05196360) × cos(0.05773187) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998333978403444 × 6371000     		do = 304.916894120993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05191566-0.05196360) × cos(0.05768401) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998336738772757 × 6371000     		du = 304.917737208833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05773187)-sin(0.05768401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998333978403444-0.998336738772757)×R²
    abs(0.05196360-0.05191566)×2.76036931279311e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.76036931279311e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.76036931279311e-06×40589641000000     		ar = 92974.1865360571m²