Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66616 / 64217
↖ ↑ ↗
← N  3.620330°
E  2.966309°		 ← 304.82 m → N  3.620330°
E  2.969055°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
N  3.617589°
E  2.966309°		 ← 304.82 m →
92 905 m²		 N  3.617589°
E  2.969055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508243560791016 y=0.489940643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508243560791016 × 217)
    floor (0.508243560791016 × 131072)
    floor (66616.5)     		tx = 66616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489940643310547 × 217)
    floor (0.489940643310547 × 131072)
    floor (64217.5)     		ty = 64217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66616 / 64217 ti = "17/66616/64217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66616/64217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66616 ÷ 217
    66616 ÷ 131072     		x = 0.50823974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64217 ÷ 217
    64217 ÷ 131072     		y = 0.489936828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50823974609375 × 2 - 1) × π
    0.0164794921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05177185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489936828613281 × 2 - 1) × π
    0.0201263427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0632287705988541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05177185} λ = 0.05177185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0632287705988541))-π/2
    2×atan(1.06527051393085)-π/2
    2×0.816991504653435-π/2
    1.63398300930687-1.57079632675     		φ = 0.06318668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05177185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.966309°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06318668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.620330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66616 KachelY 64217 0.05177185 0.06318668 2.966309 3.620330
    Oben rechts KachelX + 1 66617 KachelY 64217 0.05181979 0.06318668 2.969055 3.620330
    Unten links KachelX 66616 KachelY + 1 64218 0.05177185 0.06313884 2.966309 3.617589
    Unten rechts KachelX + 1 66617 KachelY + 1 64218 0.05181979 0.06313884 2.969055 3.617589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06318668-0.06313884) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dl = 304.788639999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06318668-0.06313884) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dr = 304.788639999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05177185-0.05181979) × cos(0.06318668) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99800438583472 × 6371000     		do = 304.816228066791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05177185-0.05181979) × cos(0.06313884) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998007405532359 × 6371000     		du = 304.817150360177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06318668)-sin(0.06313884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99800438583472-0.998007405532359)×R²
    abs(0.05181979-0.05177185)×3.01969763871757e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.01969763871757e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.01969763871757e-06×40589641000000     		ar = 92904.6641723865m²