Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66615 / 64373
↖ ↑ ↗
← N  3.192622°
E  2.963562°		 ← 304.95 m → N  3.192622°
E  2.966309°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
N  3.189879°
E  2.963562°		 ← 304.95 m →
93 004 m²		 N  3.189879°
E  2.966309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508235931396484 y=0.491130828857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508235931396484 × 217)
    floor (0.508235931396484 × 131072)
    floor (66615.5)     		tx = 66615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491130828857422 × 217)
    floor (0.491130828857422 × 131072)
    floor (64373.5)     		ty = 64373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66615 / 64373 ti = "17/66615/64373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66615/64373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66615 ÷ 217
    66615 ÷ 131072     		x = 0.508232116699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64373 ÷ 217
    64373 ÷ 131072     		y = 0.491127014160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508232116699219 × 2 - 1) × π
    0.0164642333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05172391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.491127014160156 × 2 - 1) × π
    0.0177459716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0557506142581253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05172391} λ = 0.05172391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0557506142581253))-π/2
    2×atan(1.05733396683863)-π/2
    2×0.813259041719099-π/2
    1.6265180834382-1.57079632675     		φ = 0.05572176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05172391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.963562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05572176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.192622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66615 KachelY 64373 0.05172391 0.05572176 2.963562 3.192622
    Oben rechts KachelX + 1 66616 KachelY 64373 0.05177185 0.05572176 2.966309 3.192622
    Unten links KachelX 66615 KachelY + 1 64374 0.05172391 0.05567389 2.963562 3.189879
    Unten rechts KachelX + 1 66616 KachelY + 1 64374 0.05177185 0.05567389 2.966309 3.189879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05572176-0.05567389) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dl = 304.979770000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05572176-0.05567389) × R
    4.78700000000054e-05 × 6371000     		dr = 304.979770000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05172391-0.05177185) × cos(0.05572176) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998447944376942 × 6371000     		do = 304.951702262827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05172391-0.05177185) × cos(0.05567389) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998450609253474 × 6371000     		du = 304.952516184714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05572176)-sin(0.05567389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998447944376942-0.998450609253474)×R²
    abs(0.05177185-0.05172391)×2.66487653244329e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.66487653244329e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.66487653244329e-06×40589641000000     		ar = 93004.2241498515m²