Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66613 / 64297
↖ ↑ ↗
← N  3.401016°
E  2.958069°		 ← 304.89 m → N  3.401016°
E  2.960816°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
N  3.398275°
E  2.958069°		 ← 304.89 m →
92 946 m²		 N  3.398275°
E  2.960816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508220672607422 y=0.490550994873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508220672607422 × 217)
    floor (0.508220672607422 × 131072)
    floor (66613.5)     		tx = 66613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490550994873047 × 217)
    floor (0.490550994873047 × 131072)
    floor (64297.5)     		ty = 64297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66613 / 64297 ti = "17/66613/64297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66613/64297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66613 ÷ 217
    66613 ÷ 131072     		x = 0.508216857910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64297 ÷ 217
    64297 ÷ 131072     		y = 0.490547180175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508216857910156 × 2 - 1) × π
    0.0164337158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05162804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490547180175781 × 2 - 1) × π
    0.0189056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0593938186292496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05162804} λ = 0.05162804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0593938186292496))-π/2
    2×atan(1.06119307606168)-π/2
    2×0.815077628164295-π/2
    1.63015525632859-1.57079632675     		φ = 0.05935893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05162804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.958069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05935893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.401016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66613 KachelY 64297 0.05162804 0.05935893 2.958069 3.401016
    Oben rechts KachelX + 1 66614 KachelY 64297 0.05167598 0.05935893 2.960816 3.401016
    Unten links KachelX 66613 KachelY + 1 64298 0.05162804 0.05931108 2.958069 3.398275
    Unten rechts KachelX + 1 66614 KachelY + 1 64298 0.05167598 0.05931108 2.960816 3.398275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05935893-0.05931108) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dl = 304.852349999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05935893-0.05931108) × R
    4.78499999999951e-05 × 6371000     		dr = 304.852349999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05162804-0.05167598) × cos(0.05935893) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998238775942602 × 6371000     		do = 304.887816838984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05162804-0.05167598) × cos(0.05931108) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998241613456928 × 6371000     		du = 304.888683488897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05935893)-sin(0.05931108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998238775942602-0.998241613456928)×R²
    abs(0.05167598-0.05162804)×2.83751432572643e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.83751432572643e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.83751432572643e-06×40589641000000     		ar = 92945.8995675921m²