Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66611 / 64213
↖ ↑ ↗
← N  3.631295°
E  2.952576°		 ← 304.75 m → N  3.631295°
E  2.955322°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
N  3.628554°
E  2.952576°		 ← 304.75 m →
92 884 m²		 N  3.628554°
E  2.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66611 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508205413818359 y=0.489910125732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508205413818359 × 217)
    floor (0.508205413818359 × 131072)
    floor (66611.5)     		tx = 66611
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489910125732422 × 217)
    floor (0.489910125732422 × 131072)
    floor (64213.5)     		ty = 64213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66611 / 64213 ti = "17/66611/64213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66611/64213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66611 ÷ 217
    66611 ÷ 131072     		x = 0.508201599121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64213 ÷ 217
    64213 ÷ 131072     		y = 0.489906311035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508201599121094 × 2 - 1) × π
    0.0164031982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05153217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489906311035156 × 2 - 1) × π
    0.0201873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0634205181973343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05153217} λ = 0.05153217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0634205181973343))-π/2
    2×atan(1.06547479657836)-π/2
    2×0.817087186545713-π/2
    1.63417437309143-1.57079632675     		φ = 0.06337805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05153217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.952576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06337805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.631295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66611 KachelY 64213 0.05153217 0.06337805 2.952576 3.631295
    Oben rechts KachelX + 1 66612 KachelY 64213 0.05158010 0.06337805 2.955322 3.631295
    Unten links KachelX 66611 KachelY + 1 64214 0.05153217 0.06333021 2.952576 3.628554
    Unten rechts KachelX + 1 66612 KachelY + 1 64214 0.05158010 0.06333021 2.955322 3.628554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06337805-0.06333021) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06337805-0.06333021) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05153217-0.05158010) × cos(0.06337805) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.997992283569895 × 6371000     		do = 304.748949635205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05153217-0.05158010) × cos(0.06333021) × R
    4.79299999999946e-05 × 0.997995312404363 × 6371000     		du = 304.749874526246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06337805)-sin(0.06333021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997992283569895-0.997995312404363)×R²
    abs(0.05158010-0.05153217)×3.02883446778868e-06×R²
    4.79299999999946e-05×3.02883446778868e-06×6371000²
    4.79299999999946e-05×3.02883446778868e-06×40589641000000     		ar = 92884.1588666158m²