Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66605 / 64210
↖ ↑ ↗
← N  3.639518°
E  2.936096°		 ← 304.75 m → N  3.639518°
E  2.938843°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
N  3.636777°
E  2.936096°		 ← 304.75 m →
92 883 m²		 N  3.636777°
E  2.938843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508159637451172 y=0.489887237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508159637451172 × 217)
    floor (0.508159637451172 × 131072)
    floor (66605.5)     		tx = 66605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489887237548828 × 217)
    floor (0.489887237548828 × 131072)
    floor (64210.5)     		ty = 64210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66605 / 64210 ti = "17/66605/64210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66605/64210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66605 ÷ 217
    66605 ÷ 131072     		x = 0.508155822753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64210 ÷ 217
    64210 ÷ 131072     		y = 0.489883422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508155822753906 × 2 - 1) × π
    0.0163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05124455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489883422851562 × 2 - 1) × π
    0.020233154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0635643288961945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05124455} λ = 0.05124455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0635643288961945))-π/2
    2×atan(1.06562803427182)-π/2
    2×0.817158947202551-π/2
    1.6343178944051-1.57079632675     		φ = 0.06352157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05124455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.936096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06352157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.639518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66605 KachelY 64210 0.05124455 0.06352157 2.936096 3.639518
    Oben rechts KachelX + 1 66606 KachelY 64210 0.05129248 0.06352157 2.938843 3.639518
    Unten links KachelX 66605 KachelY + 1 64211 0.05124455 0.06347373 2.936096 3.636777
    Unten rechts KachelX + 1 66606 KachelY + 1 64211 0.05129248 0.06347373 2.938843 3.636777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06352157-0.06347373) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dl = 304.788639999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06352157-0.06347373) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dr = 304.788639999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05124455-0.05129248) × cos(0.06352157) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997983183362096 × 6371000     		do = 304.746170777322m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05124455-0.05129248) × cos(0.06347373) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.997986219048755 × 6371000     		du = 304.747097760762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06352157)-sin(0.06347373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997983183362096-0.997986219048755)×R²
    abs(0.05129248-0.05124455)×3.03568665882548e-06×R²
    4.79300000000016e-05×3.03568665882548e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×3.03568665882548e-06×40589641000000     		ar = 92883.3122211435m²