Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66604 / 64316
↖ ↑ ↗
← N  3.348922°
E  2.933350°		 ← 304.90 m → N  3.348922°
E  2.936096°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.346180°
E  2.933350°		 ← 304.91 m →
92 970 m²		 N  3.346180°
E  2.936096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508152008056641 y=0.490695953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508152008056641 × 217)
    floor (0.508152008056641 × 131072)
    floor (66604.5)     		tx = 66604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490695953369141 × 217)
    floor (0.490695953369141 × 131072)
    floor (64316.5)     		ty = 64316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66604 / 64316 ti = "17/66604/64316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66604/64316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66604 ÷ 217
    66604 ÷ 131072     		x = 0.508148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64316 ÷ 217
    64316 ÷ 131072     		y = 0.490692138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508148193359375 × 2 - 1) × π
    0.01629638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05119661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490692138671875 × 2 - 1) × π
    0.01861572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0584830175364685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05119661} λ = 0.05119661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0584830175364685))-π/2
    2×atan(1.06022698027568)-π/2
    2×0.814623017461173-π/2
    1.62924603492235-1.57079632675     		φ = 0.05844971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05119661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.933350°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05844971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.348922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66604 KachelY 64316 0.05119661 0.05844971 2.933350 3.348922
    Oben rechts KachelX + 1 66605 KachelY 64316 0.05124455 0.05844971 2.936096 3.348922
    Unten links KachelX 66604 KachelY + 1 64317 0.05119661 0.05840185 2.933350 3.346180
    Unten rechts KachelX + 1 66605 KachelY + 1 64317 0.05124455 0.05840185 2.936096 3.346180
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05844971-0.05840185) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05844971-0.05840185) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05119661-0.05124455) × cos(0.05844971) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99829230196068 × 6371000     		do = 304.904165062665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05119661-0.05124455) × cos(0.05840185) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998295096627911 × 6371000     		du = 304.905018625972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05844971)-sin(0.05840185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99829230196068-0.998295096627911)×R²
    abs(0.05124455-0.05119661)×2.79466723085431e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.79466723085431e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.79466723085431e-06×40589641000000     		ar = 92970.3068388268m²