Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66596 / 64356
↖ ↑ ↗
← N  3.239240°
E  2.911377°		 ← 304.94 m → N  3.239240°
E  2.914124°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
N  3.236498°
E  2.911377°		 ← 304.94 m →
92 981 m²		 N  3.236498°
E  2.914124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508090972900391 y=0.491001129150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508090972900391 × 217)
    floor (0.508090972900391 × 131072)
    floor (66596.5)     		tx = 66596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.491001129150391 × 217)
    floor (0.491001129150391 × 131072)
    floor (64356.5)     		ty = 64356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66596 / 64356 ti = "17/66596/64356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66596/64356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66596 ÷ 217
    66596 ÷ 131072     		x = 0.508087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64356 ÷ 217
    64356 ÷ 131072     		y = 0.490997314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508087158203125 × 2 - 1) × π
    0.01617431640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05081311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490997314453125 × 2 - 1) × π
    0.01800537109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0565655415516663
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05081311} λ = 0.05081311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0565655415516663))-π/2
    2×atan(1.05819596833316)-π/2
    2×0.813665863682796-π/2
    1.62733172736559-1.57079632675     		φ = 0.05653540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05081311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.911377°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.05653540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.239240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66596 KachelY 64356 0.05081311 0.05653540 2.911377 3.239240
    Oben rechts KachelX + 1 66597 KachelY 64356 0.05086105 0.05653540 2.914124 3.239240
    Unten links KachelX 66596 KachelY + 1 64357 0.05081311 0.05648754 2.911377 3.236498
    Unten rechts KachelX + 1 66597 KachelY + 1 64357 0.05086105 0.05648754 2.914124 3.236498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.05653540-0.05648754) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.05653540-0.05648754) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05081311-0.05086105) × cos(0.05653540) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998402299895711 × 6371000     		do = 304.937761263326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05081311-0.05086105) × cos(0.05648754) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.99840500309533 × 6371000     		du = 304.93858689007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.05653540)-sin(0.05648754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998402299895711-0.99840500309533)×R²
    abs(0.05086105-0.05081311)×2.70319961881427e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.70319961881427e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.70319961881427e-06×40589641000000     		ar = 92980.5466008083m²