Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66595 / 66677
↖ ↑ ↗
← S  3.132289°
E  2.908631°		 ← 304.91 m → S  3.132289°
E  2.911377°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.135031°
E  2.908631°		 ← 304.91 m →
92 990 m²		 S  3.135031°
E  2.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508083343505859 y=0.508708953857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508083343505859 × 217)
    floor (0.508083343505859 × 131072)
    floor (66595.5)     		tx = 66595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508708953857422 × 217)
    floor (0.508708953857422 × 131072)
    floor (66677.5)     		ty = 66677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66595 / 66677 ti = "17/66595/66677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66595/66677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66595 ÷ 217
    66595 ÷ 131072     		x = 0.508079528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66677 ÷ 217
    66677 ÷ 131072     		y = 0.508705139160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508079528808594 × 2 - 1) × π
    0.0161590576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05076518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508705139160156 × 2 - 1) × π
    -0.0174102783203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.0546960024664841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05076518} λ = 0.05076518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0546960024664841))-π/2
    2×atan(0.946772920842879)-π/2
    2×0.758063787928108-π/2
    1.51612757585622-1.57079632675     		φ = -0.05466875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05076518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.908631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05466875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.132289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66595 KachelY 66677 0.05076518 -0.05466875 2.908631 -3.132289
    Oben rechts KachelX + 1 66596 KachelY 66677 0.05081311 -0.05466875 2.911377 -3.132289
    Unten links KachelX 66595 KachelY + 1 66678 0.05076518 -0.05471662 2.908631 -3.135031
    Unten rechts KachelX + 1 66596 KachelY + 1 66678 0.05081311 -0.05471662 2.911377 -3.135031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05466875--0.05471662) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05466875--0.05471662) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05076518-0.05081311) × cos(-0.05466875) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998506036023047 × 6371000     		do = 304.905830127261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05076518-0.05081311) × cos(-0.05471662) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.99850341918929 × 6371000     		du = 304.905031045593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05466875)-sin(-0.05471662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998506036023047-0.99850341918929)×R²
    abs(0.05081311-0.05076518)×2.61683375724076e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.61683375724076e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.61683375724076e-06×40589641000000     		ar = 92989.9881097543m²