Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66594 / 64219
↖ ↑ ↗
← N  3.614848°
E  2.905884°		 ← 304.82 m → N  3.614848°
E  2.908631°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
N  3.612107°
E  2.905884°		 ← 304.82 m →
92 905 m²		 N  3.612107°
E  2.908631°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66594 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508075714111328 y=0.489955902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508075714111328 × 217)
    floor (0.508075714111328 × 131072)
    floor (66594.5)     		tx = 66594
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489955902099609 × 217)
    floor (0.489955902099609 × 131072)
    floor (64219.5)     		ty = 64219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66594 / 64219 ti = "17/66594/64219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66594/64219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66594 ÷ 217
    66594 ÷ 131072     		x = 0.508071899414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64219 ÷ 217
    64219 ÷ 131072     		y = 0.489952087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508071899414062 × 2 - 1) × π
    0.016143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05071724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489952087402344 × 2 - 1) × π
    0.0200958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.063132896799614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05071724} λ = 0.05071724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.063132896799614))-π/2
    2×atan(1.06516838729518)-π/2
    2×0.816943663272638-π/2
    1.63388732654528-1.57079632675     		φ = 0.06309100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05071724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06309100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.614848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66594 KachelY 64219 0.05071724 0.06309100 2.905884 3.614848
    Oben rechts KachelX + 1 66595 KachelY 64219 0.05076518 0.06309100 2.908631 3.614848
    Unten links KachelX 66594 KachelY + 1 64220 0.05071724 0.06304316 2.905884 3.612107
    Unten rechts KachelX + 1 66595 KachelY + 1 64220 0.05076518 0.06304316 2.908631 3.612107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06309100-0.06304316) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dl = 304.788639999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06309100-0.06304316) × R
    4.78399999999934e-05 × 6371000     		dr = 304.788639999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05071724-0.05076518) × cos(0.06309100) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998010422945892 × 6371000     		do = 304.818071955983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05071724-0.05076518) × cos(0.06304316) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998013438075313 × 6371000     		du = 304.818992854117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06309100)-sin(0.06304316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998010422945892-0.998013438075313)×R²
    abs(0.05076518-0.05071724)×3.01512942135762e-06×R²
    4.79400000000033e-05×3.01512942135762e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×3.01512942135762e-06×40589641000000     		ar = 92905.2259562405m²