Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66588 / 66700
↖ ↑ ↗
← S  3.195364°
E  2.889404°		 ← 304.95 m → S  3.195364°
E  2.892151°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.198106°
E  2.889404°		 ← 304.95 m →
92 984 m²		 S  3.198106°
E  2.892151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508029937744141 y=0.508884429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508029937744141 × 217)
    floor (0.508029937744141 × 131072)
    floor (66588.5)     		tx = 66588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508884429931641 × 217)
    floor (0.508884429931641 × 131072)
    floor (66700.5)     		ty = 66700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66588 / 66700 ti = "17/66588/66700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66588/66700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66588 ÷ 217
    66588 ÷ 131072     		x = 0.508026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66700 ÷ 217
    66700 ÷ 131072     		y = 0.508880615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508026123046875 × 2 - 1) × π
    0.01605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05042962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.01776123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0557985511577454
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05042962} λ = 0.05042962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0557985511577454))-π/2
    2×atan(0.945729632841679)-π/2
    2×0.757513353858304-π/2
    1.51502670771661-1.57079632675     		φ = -0.05576962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05042962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05576962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.195364°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66588 KachelY 66700 0.05042962 -0.05576962 2.889404 -3.195364
    Oben rechts KachelX + 1 66589 KachelY 66700 0.05047756 -0.05576962 2.892151 -3.195364
    Unten links KachelX 66588 KachelY + 1 66701 0.05042962 -0.05581748 2.889404 -3.198106
    Unten rechts KachelX + 1 66589 KachelY + 1 66701 0.05047756 -0.05581748 2.892151 -3.198106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05576962--0.05581748) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dl = 304.916060000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05576962--0.05581748) × R
    4.78600000000037e-05 × 6371000     		dr = 304.916060000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05042962-0.05047756) × cos(-0.05576962) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998445277769836 × 6371000     		do = 304.950887812334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05042962-0.05047756) × cos(-0.05581748) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998442608875712 × 6371000     		du = 304.950072663372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05576962)-sin(-0.05581748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998445277769836-0.998442608875712)×R²
    abs(0.05047756-0.05042962)×2.66889412403604e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.66889412403604e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.66889412403604e-06×40589641000000     		ar = 92984.2989469867m²