Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66588 / 64204
↖ ↑ ↗
← N  3.655964°
E  2.889404°		 ← 304.80 m → N  3.655964°
E  2.892151°		 →
↑
304.79 m
↓
↑
304.79 m
↓
N  3.653223°
E  2.889404°		 ← 304.81 m →
92 901 m²		 N  3.653223°
E  2.892151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66588 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64204 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508029937744141 y=0.489841461181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508029937744141 × 217)
    floor (0.508029937744141 × 131072)
    floor (66588.5)     		tx = 66588
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.489841461181641 × 217)
    floor (0.489841461181641 × 131072)
    floor (64204.5)     		ty = 64204
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66588 / 64204 ti = "17/66588/64204"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66588/64204.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66588 ÷ 217
    66588 ÷ 131072     		x = 0.508026123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64204 ÷ 217
    64204 ÷ 131072     		y = 0.489837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508026123046875 × 2 - 1) × π
    0.01605224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.05042962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.489837646484375 × 2 - 1) × π
    0.02032470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.0638519502939148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05042962} λ = 0.05042962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0638519502939148))-π/2
    2×atan(1.06593457577832)-π/2
    2×0.817302466549469-π/2
    1.63460493309894-1.57079632675     		φ = 0.06380861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05042962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06380861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.655964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66588 KachelY 64204 0.05042962 0.06380861 2.889404 3.655964
    Oben rechts KachelX + 1 66589 KachelY 64204 0.05047756 0.06380861 2.892151 3.655964
    Unten links KachelX 66588 KachelY + 1 64205 0.05042962 0.06376077 2.889404 3.653223
    Unten rechts KachelX + 1 66589 KachelY + 1 64205 0.05047756 0.06376077 2.892151 3.653223
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06380861-0.06376077) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dl = 304.788640000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06380861-0.06376077) × R
    4.78400000000073e-05 × 6371000     		dr = 304.788640000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05042962-0.05047756) × cos(0.06380861) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997964921277341 × 6371000     		do = 304.80417457515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05042962-0.05047756) × cos(0.06376077) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.997967970668194 × 6371000     		du = 304.805105937608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06380861)-sin(0.06376077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.997964921277341-0.997967970668194)×R²
    abs(0.05047756-0.05042962)×3.04939085304934e-06×R²
    4.79399999999963e-05×3.04939085304934e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×3.04939085304934e-06×40589641000000     		ar = 92900.9917871504m²