Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 66587 / 64226
↖ ↑ ↗
← N  3.595660°
E  2.886658°		 ← 304.82 m → N  3.595660°
E  2.889404°		 →
↑
304.85 m
↓
↑
304.85 m
↓
N  3.592919°
E  2.886658°		 ← 304.83 m →
92 927 m²		 N  3.592919°
E  2.889404°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66587 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508022308349609 y=0.490009307861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508022308349609 × 217)
    floor (0.508022308349609 × 131072)
    floor (66587.5)     		tx = 66587
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.490009307861328 × 217)
    floor (0.490009307861328 × 131072)
    floor (64226.5)     		ty = 64226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66587 / 64226 ti = "17/66587/64226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66587/64226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66587 ÷ 217
    66587 ÷ 131072     		x = 0.508018493652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64226 ÷ 217
    64226 ÷ 131072     		y = 0.490005493164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508018493652344 × 2 - 1) × π
    0.0160369873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.05038168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.490005493164062 × 2 - 1) × π
    0.019989013671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0627973385022736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05038168} λ = 0.05038168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0627973385022736))-π/2
    2×atan(1.06481102116669)-π/2
    2×0.816776216165334-π/2
    1.63355243233067-1.57079632675     		φ = 0.06275611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05038168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.886658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.06275611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 3.595660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66587 KachelY 64226 0.05038168 0.06275611 2.886658 3.595660
    Oben rechts KachelX + 1 66588 KachelY 64226 0.05042962 0.06275611 2.889404 3.595660
    Unten links KachelX 66587 KachelY + 1 64227 0.05038168 0.06270826 2.886658 3.592919
    Unten rechts KachelX + 1 66588 KachelY + 1 64227 0.05042962 0.06270826 2.889404 3.592919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.06275611-0.06270826) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dl = 304.852350000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.06275611-0.06270826) × R
    4.78500000000021e-05 × 6371000     		dr = 304.852350000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05038168-0.05042962) × cos(0.06275611) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.99803148151225 × 6371000     		do = 304.824503784196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05038168-0.05042962) × cos(0.06270826) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998034481278887 × 6371000     		du = 304.825419990141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.06275611)-sin(0.06270826))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.99803148151225-0.998034481278887)×R²
    abs(0.05042962-0.05038168)×2.99976663775681e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.99976663775681e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.99976663775681e-06×40589641000000     		ar = 92926.6059877048m²