Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66585 / 66681
↖ ↑ ↗
← S  3.143258°
E  2.881165°		 ← 304.90 m → S  3.143258°
E  2.883911°		 →
↑
304.98 m
↓
↑
304.98 m
↓
S  3.146001°
E  2.881165°		 ← 304.90 m →
92 989 m²		 S  3.146001°
E  2.883911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.508007049560547 y=0.508739471435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.508007049560547 × 217)
    floor (0.508007049560547 × 131072)
    floor (66585.5)     		tx = 66585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508739471435547 × 217)
    floor (0.508739471435547 × 131072)
    floor (66681.5)     		ty = 66681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66585 / 66681 ti = "17/66585/66681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66585/66681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66585 ÷ 217
    66585 ÷ 131072     		x = 0.508003234863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66681 ÷ 217
    66681 ÷ 131072     		y = 0.508735656738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.508003234863281 × 2 - 1) × π
    0.0160064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05028581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508735656738281 × 2 - 1) × π
    -0.0174713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.0548877500649643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05028581} λ = 0.05028581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0548877500649643))-π/2
    2×atan(0.946591396812956)-π/2
    2×0.757968057862961-π/2
    1.51593611572592-1.57079632675     		φ = -0.05486021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05028581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.881165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05486021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.143258°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66585 KachelY 66681 0.05028581 -0.05486021 2.881165 -3.143258
    Oben rechts KachelX + 1 66586 KachelY 66681 0.05033374 -0.05486021 2.883911 -3.143258
    Unten links KachelX 66585 KachelY + 1 66682 0.05028581 -0.05490808 2.881165 -3.146001
    Unten rechts KachelX + 1 66586 KachelY + 1 66682 0.05033374 -0.05490808 2.883911 -3.146001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05486021--0.05490808) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dl = 304.97976999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05486021--0.05490808) × R
    4.78699999999985e-05 × 6371000     		dr = 304.97976999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05028581-0.05033374) × cos(-0.05486021) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998495556056052 × 6371000     		do = 304.902629943265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05028581-0.05033374) × cos(-0.05490808) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.998492930070857 × 6371000     		du = 304.901828067095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05486021)-sin(-0.05490808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998495556056052-0.998492930070857)×R²
    abs(0.05033374-0.05028581)×2.62598519495949e-06×R²
    4.79300000000016e-05×2.62598519495949e-06×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.62598519495949e-06×40589641000000     		ar = 92989.0116922411m²