Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66581 / 66683
↖ ↑ ↗
← S  3.148743°
E  2.870178°		 ← 304.96 m → S  3.148743°
E  2.872925°		 →
↑
304.92 m
↓
↑
304.92 m
↓
S  3.151486°
E  2.870178°		 ← 304.96 m →
92 988 m²		 S  3.151486°
E  2.872925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66581 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 66683 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507976531982422 y=0.508754730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507976531982422 × 217)
    floor (0.507976531982422 × 131072)
    floor (66581.5)     		tx = 66581
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.508754730224609 × 217)
    floor (0.508754730224609 × 131072)
    floor (66683.5)     		ty = 66683
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66581 / 66683 ti = "17/66581/66683"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66581/66683.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66581 ÷ 217
    66581 ÷ 131072     		x = 0.507972717285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 66683 ÷ 217
    66683 ÷ 131072     		y = 0.508750915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507972717285156 × 2 - 1) × π
    0.0159454345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05009406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.508750915527344 × 2 - 1) × π
    -0.0175018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0549836238642044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05009406} λ = 0.05009406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0549836238642044))-π/2
    2×atan(0.946500647849709)-π/2
    2×0.757920193207608-π/2
    1.51584038641522-1.57079632675     		φ = -0.05495594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05009406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.870178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.05495594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -3.148743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66581 KachelY 66683 0.05009406 -0.05495594 2.870178 -3.148743
    Oben rechts KachelX + 1 66582 KachelY 66683 0.05014200 -0.05495594 2.872925 -3.148743
    Unten links KachelX 66581 KachelY + 1 66684 0.05009406 -0.05500380 2.870178 -3.151486
    Unten rechts KachelX + 1 66582 KachelY + 1 66684 0.05014200 -0.05500380 2.872925 -3.151486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.05495594--0.05500380) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dl = 304.91605999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.05495594--0.05500380) × R
    4.78599999999968e-05 × 6371000     		dr = 304.91605999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05009406-0.05014200) × cos(-0.05495594) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998490302346861 × 6371000     		do = 304.96463947709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05009406-0.05014200) × cos(-0.05500380) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.998487672335744 × 6371000     		du = 304.963836203999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.05495594)-sin(-0.05500380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998490302346861-0.998487672335744)×R²
    abs(0.05014200-0.05009406)×2.63001111699968e-06×R²
    4.79399999999963e-05×2.63001111699968e-06×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.63001111699968e-06×40589641000000     		ar = 92988.4938609825m²