Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 66580 / 64529
↖ ↑ ↗
← N  2.764735°
E  2.867431°		 ← 305.07 m → N  2.764735°
E  2.870178°		 →
↑
305.04 m
↓
↑
305.04 m
↓
N  2.761991°
E  2.867431°		 ← 305.07 m →
93 060 m²		 N  2.761991°
E  2.870178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 66580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 64529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.507968902587891 y=0.492321014404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.507968902587891 × 217)
    floor (0.507968902587891 × 131072)
    floor (66580.5)     		tx = 66580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.492321014404297 × 217)
    floor (0.492321014404297 × 131072)
    floor (64529.5)     		ty = 64529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 66580 / 64529 ti = "17/66580/64529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/66580/64529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 66580 ÷ 217
    66580 ÷ 131072     		x = 0.507965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 64529 ÷ 217
    64529 ÷ 131072     		y = 0.492317199707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.507965087890625 × 2 - 1) × π
    0.01593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.05004612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.492317199707031 × 2 - 1) × π
    0.0153656005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.0482724579173965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05004612} λ = 0.05004612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0482724579173965))-π/2
    2×atan(1.04945654912146)-π/2
    2×0.809525023985002-π/2
    1.61905004797-1.57079632675     		φ = 0.04825372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05004612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.867431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.04825372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.764735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 66580 KachelY 64529 0.05004612 0.04825372 2.867431 2.764735
    Oben rechts KachelX + 1 66581 KachelY 64529 0.05009406 0.04825372 2.870178 2.764735
    Unten links KachelX 66580 KachelY + 1 64530 0.05004612 0.04820584 2.867431 2.761991
    Unten rechts KachelX + 1 66581 KachelY + 1 64530 0.05009406 0.04820584 2.870178 2.761991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.04825372-0.04820584) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dl = 305.043480000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.04825372-0.04820584) × R
    4.78800000000001e-05 × 6371000     		dr = 305.043480000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05004612-0.05009406) × cos(0.04825372) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998836015133326 × 6371000     		do = 305.070229060768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05004612-0.05009406) × cos(0.04820584) × R
    4.79400000000033e-05 × 0.998838323480037 × 6371000     		du = 305.07093408927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.04825372)-sin(0.04820584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.998836015133326-0.998838323480037)×R²
    abs(0.05009406-0.05004612)×2.30834671122171e-06×R²
    4.79400000000033e-05×2.30834671122171e-06×6371000²
    4.79400000000033e-05×2.30834671122171e-06×40589641000000     		ar = 93059.7918670446m²